Kapitel 2
Seltsame Quantenwelt

4  Das Plancksche Wirkungsquantum

Zusammenfassung des Buchkapitels:

In der Quantenmechanik sind Teilcheneigenschaften mit Welleneigenschaften verknüpft. So ist die Wellenlänge λ mit der Teilchengeschwindigkeit v oder allgemeiner mit dem Teilchenimpuls p verknüpft: Je größer die Teilchengeschwindigkeit bzw. der Teilchenimpuls ist, umso kürzer ist die Wellenlänge. Der Umrechnungsfaktor ist eine Naturkonstante und trägt den Namen Plancksches Wirkungsquantum, abgekürzt   h   .



Max Planck (1858-1947), Quelle: Wikimedia Commons File:Max planck.jpg
Courtesy of the Clendening History of Medicine Library, University of Kansas Medical Center.
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In den Einheiten Angström (A) und der Masseneinheit MeV/c2 hat h den Wert

h   =   3717  A   (MeV/c2)   (km/s)

Die Fortbewegung eines Teilchens mit einer Masse von einem MeV/c2 und einer Geschwindigkeit von einem Kilometer pro Sekunde würde demnach durch eine ebene Welle beschrieben, deren Wellenlänge 3717 Angström beträgt.

Oft teilt man auch noch durch 2 mal Pi und schreibt   hq = h/(2π)   . Statt   hq   schreibt man meist ein h mit einem Querstrich (sprich: "h-quer"), aber das gibt html leider nicht her. Nützlich ist das oft auftretende Produkt

hq c   =   200 MeV fm   (genauer ist 197,3... MeV fm)

(c = Lichtgeschwindigkeit,   MeV = Mega-Elektronenvolt = 106 eV,   fm = Fermi = 10− 15 m ).

Allgemein (auch relativistisch) gilt:

λ   =   h / p     und     T = h / E

d.h. die Wellenlänge λ ist antiproportional zum Teilchenimpuls p mit dem Planckschen Wirkungsquantum h als Umrechnungsfaktor, und analog ist die Zeitdauer T an einem Ort für den Durchgang einer Wellenlänge antiproportional zur Teilchenenergie E (da   1/T = f   die Frequenz ist, ergibt sich so die bekannte Beziehung   E = h f   ). Die obigen Beziehungen gelten auch für sehr schnelle Teilchen und sogar für masselose Teilchen wie beispielsweise Photonen. Bei Teilchengeschwindigkeiten v weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit c ist   p = m v   und somit

λ   =   h / (m v)

Wir sehen hier ein allgemeines Prinzip:



Zusatzinformationen:

a) Weitere Infos zum Welle-Teilchen-Zusammenhang



a) Weitere Infos zum Welle-Teilchen-Zusammenhang

Meist findet man für h den Wert

h   =   6,626 069 · 10− 34 J s

den man mit Hilfe der Elementarladung   e = 1,602 176 · 10− 19 C   und der Lichtgeschwindigkeit   c = 299 792 458 m/s   sowie der Einheit Angström   1 A = 10− 10m   entsprechend umrechnen kann:

  h   =   6,626 069 · 10− 34 J s   =  
       =   6,626 069 · 10− 34 C V s   =  
       =   6,626 069 · 10− 34 · e/(1,602 176 · 10− 19 C) · C V s · (299 792 458 m/s)2/c2   =  
       =   371,7   e V m (m/s) / c2   =  
       =   371,7 · 10− 6   MeV · 1010 A · 10− 3 (km/s) / c2   =  
       =   3717 (MeV/c2) A (km/s)


Was ist der Impuls eines Teilchens? In Kapitel 1.4 ist er uns bereits als gespeicherter Kraftstoß oder Schwung begegnet. Ausführlicher erläutert findet man ihn in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 2.1 und Kapitel 2.2.


Hier noch einige weiterführende Details: In der allgemeinen (auch relativistisch korrekten) Form kann man den obigen Zusammenhang zwischen Teilchen- und Welleneigenschaften durch die Formel

p   =   hq k

zusammenfassen. Dabei ist p hier der relativistische Viererimpuls (im Buchkapitel-Text weiter oben war p noch der Betrag des räumlichen Impulsvektors p ; leider ist die hier übliche Schreibweise manchmal doppeldeutig) und k der relativistische Wellenzahl-Vierervektor. Das bedeutet, dass p vier Komponenten hat, nämlich die relativistische Gesamtenergie E (geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit c) und die 3 räumlichen Komponenten des Impulsvektors p (fett gedruckt):

p   =   (E/c, p)   =   (E/c, p1, p2, p3)

(mehr dazu in den Zusatzinformationen zu Kapitel 3.2). Analog sind die vier Komponenten von k gleich der Wellenfrequenz f (mal 2π, dann auch ω genannt) und den 3 räumlichen Komponenten des Wellenzahlvektors k :

k   =   (ω/c, k)   =   (ω/c, k1, k2, k3)   =   (2πf/c, 2π/λ e)

Der Wellenzahlvektor   k   ist so definiert, dass er in Richtung der Wellenbewegung zeigt (gegeben durch den Einheitsvektor   e ) und dass seine Länge gleich   2π/λ   ist (mit der Wellenlänge λ).

Die Gleichung   p   =   hq k   ergibt dann die beiden Gleichungen

  E   =   hq ω   =   h f
  p   =   hq k   =   h/λ e

Die erste Gleichung   E = h f   kennt man meist von Licht her, d.h. sie gibt die Energie von Photonen an, die zu einer Lichtwelle der Frequenz f gehören (siehe Kapitel 2.2 Licht besteht aus Teilchen). Die Formel gilt aber auch ganz allgemein für beliebige Teilchen.
Die zweite Gleichung sagt in ihrer obigen Vektorform zunächst, dass der Teilchenimpuls in Richtung der Wellenbewegung zeigt. Schaut man auf die Längen der Vektoren, so ergibt sie   |p| = h/λ   oder umgestellt   λ = h/|p|   . Das ist genau die Gleichung aus dem Buchkapitel-Text oben, wobei wir oben p statt |p| geschrieben hatten.

Die obigen Gleichungen machen eines klar: In der Quantentheorie sind Energie und Impuls die zentralen Größen, da sie mit der Frequenz und der Wellenlänge von Quantenwellen zusammenhängen. Der Begriff der Kraft spielt keine zentrale Rolle mehr, da auch der Begriff der Bahnkurve eines Teilchens wegfällt. Statt dessen dreht sich nun alles darum, wie sich Frequenz und Wellenlänge einer Quantenwelle verändern und damit die möglichen Energien und Impulse.

Die ebene Welle zum Viererimpuls   p = hq k   kann man (bis auf den Normierungsfaktor) einfach schreiben als

  e−i kx   =   e−i (ωt − kx)   =   e−i (Et − px)/hq

(siehe auch die Zusatzinformationen in Kapitel 2.3 zur ebenen Welle). Das Produkt   k x   zwischen den beiden Vierervektoren k und   x = (ct, x)   mit der Zeit t und dem Ort x ist dabei definiert durch   kx := ωt − kx . Details siehe auch Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 4.3 Die Quantentheorie: Freie Teilchen.

Hier zeigt sich der Vorteil von Vierervektoren: Das Produkt   k x   (von mir auch oft als g(k,x) geschrieben) hat in jedem gleichförmig bewegten Bezugssystem in der speziellen Relativitätstheorie denselben Wert, auch wenn die Vektorkomponenten vom Bezugssystem abhängen. Mehr zum Thema Vierervektoren in den Zusatzinformationen zu Kapitel 3.2: Die spezielle Relativitätstheorie und den dort angegebenen Links.

Umgekehrt: Da die physikalische Beschreibung einer Welle nicht vom Bezugssystem abhängen darf, muss   k x   =   ωt − kx   unabhängig vom Bezugssystem sein. Ein Wellenberg muss ein Wellenberg bleiben, egal, ob wir ihn aus einem fahrenden Zug heraus betrachten oder nicht. Daher muss   k   =   (ω/c, k)   ein Vierervektor sein, also wie der Viererimpuls   p   =   (E/c, p)   bei Wechsel des Bezugssystems mit der Lorentzmatrix Λ umgerechnet werden. Nur deshalb macht die Gleichung   p   =   hq k   überhaupt Sinn, denn p und k sind beides Vierervektoren, so dass diese Gleichung in jedem gleichförmig bewegten Bezugssystem gilt.


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last modified on 27 August 2010