Kapitel 3
Atomkerne und spezielle Relativitätstheorie

3  Maßstäbe der Natur

Zusammenfassung des Buchkapitels:

Sowohl in der Quantenmechanik als auch in der speziellen Relativitätstheorie werden zwei verschiedene, vorher nicht zusammenhängende Bereiche der Physik miteinander zu einem umfassenderen theoretischen Konzept verbunden: Wellen und Teilchen sowie Raum und Zeit.

In beiden Fällen entsteht dadurch eine Naturkonstante, die jeweils als Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Bereichen dient: Das Plancksche Wirkungsquantum h und die Lichtgeschwindigkeit c.

Man kann diese Naturkonstanten als natürliche Maßeinheiten verwenden. Wir können Längen statt in Metern generell in der Einheit h/(MeV/c) angegeben, denn ein Impuls (gemessen in MeV/c) legt ja eine Wellenlänge und damit eine räumliche Länge fest. Das Plancksche Wirkungsquantum fungiert dabei selbst als eine physikalische Maßeinheit, die nicht durch andere Maßeinheiten ausgedrückt werden muss und daher auch keinen krummen Zahlenwert mehr hat.

Analog hatten wir die Lichtgeschwindigkeit bereits dazu verwendet, um aus Energieeinheiten wie MeV Masseneinheiten wie MeV/c2 zu gewinnen (und c2 dann aus Bequemlichkeit sogar wegzulassen). Ebenso kann man aus der Zeiteinheit Jahr die Längeneinheit Lichtjahr gewinnen. Diesen Weg geht man heute tatsächlich, um die Längeneinheit Meter zu definieren:   299 792 458   Meter sind eine Lichtsekunde, also die Strecke, die Licht im Vakuum in einer Sekunde zurücklegt. Die Lichtgeschwindigkeit hat also per Definition den exakten Wert von   299 792 458   Metern pro Sekunde, also eine Lichtsekunde pro Sekunde.


Zusatzinformationen:

a) natürliche Maßeinheiten
b) SI-Einheitensystem und Naturkonstanten



a) natürliche Maßeinheiten

In der theoretischen Teilchenphysik werden gerne natürliche Maßeinheiten verwendet. Man sagt auch, dass man   hq = c = 1   setzt. Die Formeln aus den vorhergehenden Kapiteln würden dann so aussehen:

  g(u,u)   =   1
  u   =   (γ,   γv )     mit   γ2 = 1 / (1 − v2)
  p   =   m u   =   (E, p)
  g(p,p)   =   m2
  E2   =   m2   +   p2
  p   =   k   =   (2π/T, 2π/λ)

Das sieht doch recht übersichtlich aus. Übrigens hat nur die letzte Formel hat etwas mit Quantentheorie zu tun. Die anderen Formeln stammen aus der speziellen Relativitätstheorie.

Wie hat man diese Formeln zu lesen? Da   c   hier als natürliche Maßeinheit fungiert, werden zunächst Geschwindigkeiten v als Bruchteile von c angegeben, d.h. man müsste in γ beispielsweise   v = 1/2   einsetzen, was halbe Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Entsprechend sind v, γ und auch die Komponenten von u in den Formeln dimensionslose Zahlen.

Energien, Massen und Impulse können wir mit Hilfe von c ineinander umrechnen. Aber weder hq noch c liefern eine natürliche Maßeinheit für diese Größen. Erst mit der Hinzunahme der Gravitationskonstante G gelingt das (siehe Kapitel 7.2). Daher müssen wir hier noch eine künstliche Einheit vorgeben: wir nehmen die Energieeinheit MeV. In den Formeln werden also alle Energien, Massen und Impulse in MeV angegeben und können bei Bedarf mithilfe von c in andere Einheiten umgerechnet werden.

Nun zur letzten Formel, die aus der Quantentheorie stammt und die Teilchen- und Welleneigenschaften miteinander verknüpft. Längen würden wir demnach in   1 / MeV   angeben. Das geht, da in der Quantentheorie ein Teilchenimpuls ja eine Wellenlänge festlegt. Multiplikation mit   hq c   liefert dann die Umrechung in eine Längeneinheit.

Auch Zeiten würden wir in   1 / MeV   angeben, denn über die Lichtgeschwindigkeit legt eine Längeneinheit ja eine Zeiteinheit fest. Physikalisch hängt das mit der Zeit zusammen, in der eine Wellenlänge eines Lichtsstrahls bestimmter Photonenenergie einen Punkt passiert.

Natürlich hätte man statt von der Energieeinheit MeV auch von der Masseneinheit kg oder der Zeiteinheit Sekunde oder der Längeneinheit Meter ausgehen und daraus die anderen Einheiten ableiten können. Die Formeln oben bleiben dieselben. Immer muss man aber eine künstliche Einheit hineinstecken, solange die Gravitation außen vor bleibt (siehe Kapitel 7.2).



b) SI-Einheitensystem und Naturkonstanten

Im Buchkapitel sind wir der Idee begegnet, dass Naturkonstanten wie die Lichtgeschwindigkeit c und das Planck'sche Wirkungsquantum h selbst als natürliche Maßeinheiten dienen können. Nur eine einzige Maßeinheit muss noch hineingesteckt werden, beispielsweise die Energieeinheit MeV. Nimmt man die Gravitationskonstante G mit hinzu, so fällt sogar diese Notwendigkeit weg und es lassen sich alle fundamentalen physikalischen Größen in natürlichen Einheiten angeben, die durch die Naturkonstanten h, c und G definiert sind (die Planck-Einheiten, siehe auch Buchkapitel 7.2 ).

Die heute gängigen Maßeinheiten sind im sogenannten SI-Einheitensystem festgelegt. In diesem System gibt es sieben Basiseinheiten (siehe unten), von denen dann alle anderen Einheiten abgeleitet werden (so ist   1 N = 1 kg m/s2   und   1 J = 1 N m   ). Ideal wäre es, wenn man diese Maßeinheiten über Naturkonstanten definieren könnte, analog zu den Planck-Einheiten. Die Naturkonstanten wären dann wieder die eigentlichen Maßeinheiten und das SI-Einheitensystem würde sie lediglich in die gängigen SI-Einheiten übersetzen. Schauen wir uns an, wie weit das bisher (Stand 2010) gelungen ist und welche Pläne es gibt (wobei ein "X" eine noch festzulegende Ziffer bezeichnet):

Wieso braucht man eigentlich sieben SI-Einheiten, wenn man doch mit drei Planck-Einheiten (analog zu den drei Naturkonstanten G, h und c) alle fundamentalen physikalischen Größen abdecken kann?

Betrachtet man die sieben SI-Einheiten, so findet man, dass sie nicht alle zu fundamentalen physikalischen Größen gehören, für die man separate Maßeinheiten definieren muss:
So ist die Candela keine fundamentale Einheit, da sie auf die Strahlungsleistung pro Raumwinkel zurückgeführt wird.
Das Mol ist letztlich nur eine bequeme Einheit für eine große Teilchenzahl, analog beispielsweise zum Begriff Dutzend für 12.
Das Kelvin lässt sich auf die mittlere Teilchenenergie zurückführen.
Das Ampere kann über die elektrische Elementarladung definiert werden, die man mithilfe von h und c durch die dimensionslose elektrische Kopplungskonstante   α = 1/137   ausdrücken kann. Wir erinnern uns: Für die elektrische Ladung muss man nicht unbedingt eine eigene Maßeinheit definieren, denn man kann sie auch direkt über die elektrische Kraft festlegen (analog ist das Ampere bisher über die magnetische Kraft definiert).

Bleiben also die drei Einheiten Sekunde, Meter und Kilogramm, die man durch die Planck-Zeit, die Planck-Länge und die Planck-Masse ausdrücken könnte, oder gleichwertig durch h, c und G. Insofern passt alles zusammen. Insbesondere wird bereits heute die Lichtgeschwindigkeit c verwendet, um die Längeneinheit Meter aus der Zeiteinheit Sekunde abzuleiten, und man plant, die Masseneinheit Kilogramm über das Planck'sche Wirkungsquantum h aus Sekunde und Meter abzuleiten. Insofern ist die Sekunde letztlich die SI-Einheit, auf der die anderen Einheiten dann aufbauen sollen.

Allerdings spielt die Gravitationskonstante G bisher im SI-System keine Rolle. Die Zeiteinheit Sekunde wird nicht über die Gravitationskraft definiert, sondern bei ihr spielt die elektrische Kraft die entscheidende Rolle, da sie das schwingende Atom zusammenhält. Insofern gibt es aus Sicht einer fundamentalen Theorie hier gewisse Unterschiede, denn eine dimensionslose Zahl (die elektrische Kopplungskonstante α) spielt im SI-System noch eine wichtige Rolle, nicht aber bei den Planck-Einheiten.

Bei der oben dargestellten möglichen Neudefinition der Masseneinheit Kilogramm kommt nun die Gravitation ins Spiel, da hier die Gewichtskraft des Objektes gemessen wird. Ob das in irgendeiner Form zu einer Gleichwertigkeit der SI-Einheiten mit den Planck-Einheiten führt, scheint mir allerdings fraglich, denn nach wie vor spielt die elektromagnetische Kraft und mit ihr α eine wichtige Rolle im SI-System, während Quantengravitationseffekte keine Rolle spielen. Die Gravitation dient hier nur dazu, eine Fallbeschleunigung zu liefern, so dass die Gravitationskonstante G keine Rolle spielt (da man die Fallbeschleunigung nicht aus der Erdmasse berechnet, sondern direkt misst).



Literatur:



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last modified on 09 November 2010