Kapitel 4
Teilchenzoo, Quarks und Wechselwirkungen

3  Die starke Wechselwirkung

Zusammenfassung des Buchkapitels:

Die starke Wechselwirkung ist nach der Gravition, der elektromagnetischen und der schwachen Wechselwirkung die vierte fundamentale Kraft zwischen den Bausteinen der Materie. Alle sechs Quarks werden durch sie beeinflusst, im Gegensatz zu den sechs Leptonen, die nichts von der Existenz der starken Wechselwirkung bemerken.

Ein Nebenprodukt der starken Wechselwirkung ist die starke Kernkraft, die zwischen den Hadronen wirkt und die die Nukleonen im Atomkern zusammenhält. Somit ist die starke Kernkraft keine unabhängige Wechselwirkung.

Eine detailliertere Beschreibung der starken Wechselwirkung kann nur mit den Mitteln der Quantenfeldtheorie erfolgen (mehr dazu später). In vereinfachten Modellrechnungen ergibt sich ungefähr eine abstandsunabhängige konstante Kraft, die die Quarks daran hindert, zu entweichen (Confinement).

So wie die elektromagnetische Wechselwirkung auf elektrische Ladungen wirkt, so wirkt die starke Wechselwirkung auf sogenannte starke Ladungen (auch Farbladungen genannt). Um den Zusammenschluss von drei Quarks zu Baryonen zu erklären, benötigt man drei starke Ladungsarten, die wir rot, gelb und blau nennen wollen. Diese sind das Gegenstück zu den positiven und negativen elektrischen Ladungen.

Ein Quark kann also eine rote, gelbe oder blaue starke Ladung tragen. Welche Ladung trägt dann das entsprechende Antiquark? Das folgende Bild gibt dazu eine Antwort:



Darstellung der Ladungstypen der verschiedenen Wechselwirkungen durch Punkte in der Ebene. Die Ladung eines Antiteilchens ergibt sich durch Spiegelung am Ursprung. Gravitationsladungen (Massen) können sich nicht gegenseitig neutralisieren. Dagegen neutralisieren sich positive und negative elektrische Ladungen gegenseitig. Bei der starken Wechselwirkung ergeben erst die drei Farbladungen rot, gelb und blau zusammen ein neutrales (weißes) Objekt.


Die Ladung Antigelb ergibt sich in dem Bild durch Spiegelung am Ursprung und käme damit bei 6 Uhr zu liegen. Man kann daher Antigelb auch als rot-blau oder violett bezeichnen.

Die starke Wechselwirkung soll nun gerade zwischen Quark und Antiquark oder zwischen drei Quarks anziehend wirken. Dies können wir durch die folgende Forderung erreichen:

Um in unserer Farbsprache zu bleiben: die einzelnen Farben müssen sich gegenseitig zu weiß addieren. Das funktioniert bei drei Quarks (rot, gelb und blau) oder bei einem Quark-Antiquark-Paar (z.B. rot plus Antirot), nicht aber beispielsweise bei zwei Quarks.

Es wird nun auch klar, warum die starke Kernkraft zwischen den Nukleonen im Atomkern mit zunehmendem Abstand so schnell abnimmt. Aus der Ferne betrachtet verschmelzen die Quarks im Inneren gleichsam miteinander, und das Hadron erscheint als ein Objekt mit weißer Farbladung, entsprechend einer verschwindenden starken Ladung.

Für die starke Wechselwirkung gilt das Superpositionsprinzip nicht. Auch die starken Kraftfelder tragen starke Farbladungen. Man kann sich vorstellen, dass sich die Farbladung eines Quarks in einem Hadron aufgrund der Wechselwirkung ständig verändert. Die Farbladungen werden durch das starke Kraftfeld hin- und hertransportiert. Genauer müsste man sagen: Es gibt eine Farb-Wellenfunktion, die die Wahrscheinlichkeiten dafür angibt, für die Quarks eines Hadrons eine bestimmte Farbkombination zu finden (analog zum Ort eines Elektrons in einer Atomhülle). Hier sind die Farbwellenfunktionen für Baryonen und Mesonen (mehr dazu unten in den Zusatzinfos):

Mesonen:
q [`q] Pfeil
r r ®
g g ®
b b ®

        Baryonen:
q1 q2 q3 Pfeil
r g b ®
b r g ®
g b r ®
r b g ¬
g r b ¬
b g r ¬

Dabei steht q für das Quark, [`q] für das Antiquark. Die Buchstaben r, g und b stehen für die Farbladungen Rot, Gelb und Blau (bzw. bei den Mesonen in der zweiten Spalte für Antirot etc.). Wir sehen, daß für alle möglichen Farbladungskombinationen der entsprechende Wellenfunktionspfeil gleich lang ist, was letztlich insgesamt ein weißes Hadron ergibt.

Was geschieht nun, wenn wir versuchen, beispielsweise das Quark und das Antiquark eines Mesons auseinanderzuziehen? Das folgende Bild zeigt das Resultat:



Werden zwei Quarks auseinandergezogen, so bildet sich zwischen ihnen aufgrund der Selbst-Wechselwirkung der starken Kraftfelder ein Kraftfeldschlauch aus. Sobald die darin gespeicherte Energie groß genug ist, bildet sich daraus ein neues Quark-Antiquark-Paar. Der Schlauch zerreißt, und die neu entstandenen Hadronen driften auseinander. Es ist nicht möglich, ein einzelnes freies Quark zu erzeugen.
Wenn die beiden Quarks mit hoher Energie auseinanderfliegen, so bilden sich aus dem zerreißenden Kraftfeldschlauch schließlich viele Hadronen, die fast alle in die Richtung des einen oder anderen Quarks davonfliegen. Es entstehen zwei Hadronenjets -- ein Bild dazu findet man in den Zusatzinfos zu Kapitel 6.2.


Errata:

S. 108 unten: Die Ladungseinheit muss natürlich   m √N   und nicht   √(Nm)   lauten.



Zusatzinformationen:

a) Farbladungen und die Gruppe SU(3)


a) Farbladungen und die Gruppe SU(3)

(hauptsächlich für Leser mit mathematischem und physikalischem Vorwissen gedacht, da das Thema nicht ganz einfach ist)

Oben haben wir gesehen, dass Quarks eine starke Ladung (Farbladung) tragen, auf die die starke Wechselwirkung wirkt (so wie die elektromagnetische Wechselwirkung auf elektrische Ladungen wirkt). Diese Ladung kann drei Werte annehmen, die wir rot, gelb und blau genannt haben. Hintergrund ist, dass sich diese drei Ladungen gegenseitig neutralisieren können, so wie sich die drei Farben für unser Auge zu weiß addieren. Entsprechend hatten wir die drei Ladungen wie die Grundfarben in einem Farbkreis oder Dreieck angeordnet (siehe Grafik oben). Die Ladungen der Antiteilchen ergeben sich dann durch Spiegelung am Ursprung, d.h. antirot entspricht gelb-blau (im Farbkreis also der Komplementärfarbe grün).

Nun ist dieses Farb-Analogon zwar sehr hilfreich, aber es erfasst nicht alle Aspekte der Farbladung. Insbesondere sind Quarks zusammen mit ihrer Farbladung immer in Hadronen eingesperrt, so dass es kein weit hinausreichendes Farb-Kraftfeld gibt (anders als das elektrische Feld). Während die elektrische Ladung eines Teilchens immer bekannt ist (da sein elektrisches Feld sie der Umgebung ständig bekannt gibt), ist die Farbladung eines Quarks eine quantenmechanische Größe, analog zu seinem Ort oder Impuls. Es gibt für ein einzelnes Quark also drei Wahrscheinlichkeitsamplituden (Pfeile oder Zeiger), deren Längenquadrat jeweils für die Wahrscheinlichkeit steht, bei ihm die entsprechende Farbladung zu messen. Entsprechend haben wir für ein Quark also eine Farb-Wellenfunktionstabelle mit drei Zeilen.

Mathematisch kann man jede Farbladungs-Wahrscheinlichkeitsamplitude als komplexe Zahl schreiben. Zusätzlich fassen wir die drei Farbladungs-Amplituden eines Quarks zu einem dreidimensionalen Vektor zusammen, d.h. wir schreiben

  ψ   =   (ψ1, ψ2, ψ3)

Dieser Vektor steht für die Farb-Wellenfunktionstabelle, und der Index steht für die jeweilige Farbladung, also z.B. rot=1, gelb=2, blau=3. Die Wahrscheinlichkeit, die Farbladung rot bei dem Quark vorzufinden, ist also gleich   |ψ1|2   . Da die drei   ψi   (mit i = 1, 2 oder 3) alle aus der Menge C der komplexen Zahlen sind, schreibt man auch gerne, dass ψ Element des Vektorraums C3 ist.

Wenn bei einem bestimmten Quark die Wahrscheinlichkeit für rot beispielsweise bei 20% liegt und die für blau bei 35%, so muss die Wahrscheinlichkeit für gelb bei 45% liegen, denn irgendeine beliebige der drei Farbladungen wird man garantiert finden. Es gilt also

  |ψ1|2 + |ψ2|2 + |ψ3|2   =   1

Wir schreiben diese Gleichung in der Kurzform   |ψ|2   =   1   .

Die Wahl der Farbladungen und Indices ist vollkommen willkürlich. Die Farbladung rot ist nicht besser als die Farbladung gelb oder blau. Das ist ähnlich wie bei Spins in einem rotationssymmetrischen System: Es muss egal sein, bezüglich welcher Raumachse man die Spinkomponente angibt, d.h. es muss passende Umrechnungsformeln für die Wahrscheinlichkeitsamplituden geben, wenn man die Bezugsachse wechselt, und diese Umrechnungsformeln müssen so arbeiten, dass rotationssymmetrische Beobachtungsgrößen (z.B. die Energieniveaus) unverändert bleiben.

Analog soll es hier egal sein, welche Farbachsen man im Farb-Vektorraum C3 eines Quarks wählt, um ihnen eine Farbladung zuzuordnen. Die starke Wechselwirkung sollte keine bestimmte Farbladung bevorzugen. Wie müsste man nun vorgehen, um irgendeine kontinuierliche Veränderung der Farbachsen zu beschreiben, bezüglich der wir die Farbladungs-Wellenfunktion eines Quarks angeben? Wir wollen eine solche Veränderung zunächst ganz allgemein durch einen Operator U beschreiben, der aus einem Farbwellenfunktions-Vektor ψ einen anderen Vektor ψ' macht, wobei wir uns die Komponenten von ψ' als die Wahrscheinlichkeitsamplituden bezüglich der veränderten Farbachsen vorstellen können:

  ψ'   =   U ψ

Die komplexe 3-mal-3-Matrix   U   soll kontinuierlich von einigen reellen Veränderungsparametern abhängen, so dass man mit diesen Parametern die Stärke der Veränderung gleichsam steuern kann (so wie man die Stärke einer Drehung über den Drehwinkel steuert).

Wir wollen nun fordern, dass die Veränderung durch U die Interferenz von Amplituden nicht zerstört. Man kann also entweder die Amplituden zweier ununterscheidbarer Möglichkeiten zuerst zu einer Gesamtamplitude addieren und diese dann bezüglich veränderter Farbachsen betrachten, oder zuerst die Amplituden der beiden Möglichkeiten bezüglich veränderter Farbachsen betrachten und diese dann addieren:

  U (ψ + ψ')   =   U ψ + U ψ'

Man sagt auch, U ist additiv. Damit bleibt die Option erhalten, einen Gesamtprozess weiterhin nach Belieben in mehrere ununterscheidbare Alternativprozesse aufzuteilen und die zugehörigen Amplituden einzeln mit U auf neue Farbachsen umzurechnen, ohne dass diese Aufteilung die Gesamtwirkung von U verändert.

Wenn U nur das Bezugssystem im Farbladungsraum verändern soll, so muss nach der Veränderung immer noch die Wahrscheinlichkeit gleich Eins (100%) sein, eine beliebige der drei Farbladungen beim Quark vorzufinden. Die drei neuen Amplitudenquadrate müssen also zusammen wieder 1 ergeben:

  |ψ'|2   =   |U ψ|2   =   1  

Man sagt auch, U ist Norm-erhaltend. Aus der Additivität und der Normerhaltung kann man folgern, dass U ein unitärer oder anti-unitärer Operator ist. Dies nennt man auch den Satz von Wigner (Wigner-Theorem). Da bei uns U stetig von reellen Parametern abhängen soll und für bestimmte Parameter auch U = 1 gelten soll, können wir antiunitäre Operatoren ausschließen, d.h. U ist unitär (also linear und Norm-erhaltend). Ein unitäres U entspricht genau der Umrechnung eines Farbladungsvektors aus dem Farbraum C3 von einer Orthonormalbasis auf eine andere Orthonormalbasis. Mehr zu diesem Thema findet man in der unten angegebenen Referenz (Koglbauer, Rothe ...) sowie in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 4.6 Darstellung von Symmetrien in der Quantentheorie.

Die komplexe 3-mal-3-Matrix U erfüllt nun als unitäre Matrix die Bedingung

  U+U   =   U U+   =   1

wobei U+ die transponierte komplex konjugierte Matrix ist:   (U+)ij = U*ji   . Diese Matrizen bilden bezüglich ihrer Multiplikation eine mathematische Gruppe, die man als U(3) bezeichnet. Für sie gilt   |det U| = 1   , d.h. ihre Determinante ist eine komplexe Zahl mit Betrag 1 (ein Phasenfaktor), also   det U = ei φ   mit passendem reellen φ.

Wir können nun diesen Phasenfaktor gleichsam herausdividieren und uns die Matrix   U'   :=   U / (det U)   ansehen. Die Matrix U' erfüllt   det U' = 1   (ohne Betragsstriche). Solche Matrizen nennt man speziell unitär. Die entsprechende Gruppe heißt SU(3) (die speziell unitären 3-mal-3-Matrizen). Man kann also jede unitäre Matrix U als Produkt einer speziell unitären Matrix U' und einem Phasenfaktor   det U = ei φ   schreiben:   U = U' ei φ   . Solange wir alle Quark-Farbwellenfunktions-Vektoren mit demselben U verändern, würde der Phasenfaktor ei φ sie nur in gleicher Weise verdrehen, was sich physikalisch nicht auswirkt. In diesem Fall können wir den Phasenfaktor genauso gut weglassen und direkt mit speziell-unitären Matrizen arbeiten. In einem späteren Kapitel werden wir allerdings noch lokale Eichtransformationen kennenlernen, bei denen U und damit der Phasenfaktor von Zeit und Ort abhängt. Dann kann der Phasenfaktor nicht mehr einfach weggelassen werden.

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass alle Quark-Farbwellenfunktions-Vektoren mit demselben U verändert werden, d.h. dass man überall das Bezugssystem im Farbraum in gleicher Weise verändert. Wir können also von der Gruppe SU(3) ausgehen und damit die Einschränkung   det U = 1   hinzunehmen (statt U' schreiben wir wieder U). Zwischendurch werden wir uns dann immer wieder ansehen, was geschieht, wenn wir doch U(3) statt SU(3) genommen hätten.

Analog zu den Quarks kann man auch für ein Anitquark einen Farbwellenfunktions-Vektor einführen, den wir

  χ   =   (χ1, χ2, χ3)

nennen wollen. Der Index steht hier für die Farbladungen antirot, antigelb und antiblau, und χ1 ist dann die Wahrscheinlichkeitsamplitude, bei dem Antiquark die Farbladung antirot vorzufinden. Wenn wir nun im Farbladungsraum gleichsam den Blickwinkel ändern und die Quark-Farbwellenfunktions-Vektoren ψ entsprechend mit der SU(3)-Matrix U verändern, so müssen wir auch für die Anti-Farbladungen den Blickwinkel passend dazu mitändern -- letztlich sollen sich Farbladung und Anti-Farbladung ja irgendwie kompensieren können, und wir brauchen beispielsweise für Mesonen ja Farbladungs-neutrale (weiße) Kombinationen.

Es stellt sich heraus, dass folgende Idee zum Ziel führt (Begründung folgt weiter unten): Wenn wir Quark-Farbwellenfunktions-Vektoren ψ mit der Matrix U verändern, so müssen wir parallel dazu Antiquark-Farbwellenfunktions-Vektoren χ mit der komplex konjugierten Matrix U* verändern:

Transformation der Quark- und Antiquark-Farbladungs-Wellenfunktion:

  ψ'   =   U ψ
  χ'   =   U* χ

Man kann dies auch so ausdrücken: Wenn eine Änderung im Farbraum bei Quarks durch die Matrix U dargestellt wird, so wird sie bei Antiquarks durch die Matrix U* dargestellt. U ist also die Darstellungsmatrix der Farbraum-Änderung bei Quarks, und U* bei Antiquarks. Dabei gehorchen U und U* denselben Multiplikationsregeln, d.h. zur Quark-Darstellungsmatrix   U U'   gehört die Antiquark-Darstellungsmatrix   (U U')* = U* U'*   . Beide Darstellungsformen spiegeln also die SU(3)-Gruppenmultiplikation korrekt wieder. Man spricht auch von verschiedenen Darstellungen der Gruppe SU(3). Mehr zum Thema "Darstellungen einer Gruppe" in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 4.6: Darstellung von Symmetrien in der Quantentheorie.

Die zweite Gleichung können wir noch etwas anders schreiben, indem wir aus dem Spaltenvektor χ den Zeilenvektor χT machen und die transponierte Matrix (U*)T = U+ verwenden:

  χ'T   =   χT U+

Bei Quarks wird also die Matrix U von links an den Spaltenvektor ψ heranmultipliziert, bei Antiquarks wird dagegen die Matrix U+ von rechts an den Zeilenvektor χT heranmultipliziert. Oben hatten wir übrigens ψ meist als Zeilenvektor geschrieben -- aus Platzgründen.

Um zu sehen, ob unsere bisherigen Ideen die Farbladungseigenschaften von Quarks sinnvoll widerspiegelt, müssen wir uns die Farbwellenfunktionen von Hadronen ansehen. Wir beginnen mit Mesonen, also Quark-Antiquark-Zuständen.


Mesonen:

Die Farbwellenfunktionstabelle von Mesonen besteht aus drei Spalten: Spalte 1 für die Farbladung des Quarks, Spalte 2 für die Farbladung des Antiquarks und Spalte 3 für die entsprechende Wahrscheinlichkeitsamplitude (siehe oben). Insgesamt ergeben sich so neun Zeilen, jeweils eine für jede Farbladungskombination. Wir wollen wieder unsere Indexschreibweise verwenden und die Wahrscheinlichkeitsamplituden als komplexe Zahlen in der Form   Aij   schreiben. Dabei steht der Index i für die Farbladung des Quarks und der Index j entsprechend für die Farbladung des Antiquarks. Die komplexen Zahlen   Aij   können wir als Matrixelemente einer komplexwertigen 3-mal-3-Matrix A auffassen, oder alternativ als die 9 Komponenten eines Vektors, die vom Doppelindex   (i, j)   durchnummeriert werden.

Wie wirkt sich nun eine Veränderung des Blickwinkels bei den Farbladungen aus? Für jeden festen Wert der Antiquark-Farbladung j bilden die drei zugehörigen   Aij   (mit i = 1, 2 und 3) einen Quark-Farbladungs-Spaltenvektor, der die drei Wahrscheinlichkeitsamplituden dafür angibt, dass das Quark die Farbladung i hat (mit vorgegebener Antiquark-Farbladung j). Diese Spaltenvektoren sollten sich daher analog zu unserem Quark-Farbladungsvektor ψ verändern. Umgekehrt können wir aber auch die Quark-Farbladung i fest vorgeben -- die drei zugehörigen   Aij   (mit j = 1, 2 und 3) bilden dann einen Antiquark-Farbladungs-Zeilenvektor, der sich analog zu χ verändern sollte. Wir können nun beide Schritte hintereinanderschalten, wobei die Reihenfolge egal ist: Die Spalten der Matrix A werden erst mit U von links verändert, und anschließend werden die Zeilen von A mit U+ von rechts verändert. Damit ergibt sich die folgende Transformationsformel der Quark-Antiquark-Farbladungsmatrix:

Transformation der Quark + Antiquark -Farbladungs-Wellenfunktion:

  A'   =   U A U+

Man kann dies auch wieder so ausdrücken: Wenn eine Änderung im Farbraum bei Quarks durch die Matrix U dargestellt wird, so wird sie bei Quark + Antiquark -Farbladungs-Wellenfunktionen durch die die obige Formel dargestellt. Dieser Gedanke wird noch deutlicher, wenn wir die obige Formel in Vektorschreibweise notieren. Dazu schreiben wir sie zunächst in Komponenten aus:

  A'ij   =   ∑mn Uim Ujn*   Amn

wobei die Indices m und n in der Summe von 1 bis 3 laufen. Wenn wir nun die 3-mal-3-Matrizen A und A' als Vektoren mit 9 Komponenten auffassen, indem wir die beiden Indices i und j als Doppelindex (i j) betrachten, so kann man die Produkte   Uim Ujn*   als Komponenten einer 9-mal-9-Matrix auffassen, die wir mit   [U × U*]   bezeichnen wollen, d.h.

  Uim Ujn*   =:   [U × U*]ij,mn  

In dieser Notation lautet die obige Formel dann:

  A'   =   [U × U*] A

Das U in   [U × U*]   wirkt also nur auf den ersten Index von A, das U* auf den zweiten Index. Die Matrix   [U × U*]   ist also die Darstellungsmatrix der Änderung im Farbladungsraum bei Quark + Antiquark -Farbladungs-Wellenfunktionen. So etwas nennt man auch eine Produktdarstellung der Gruppe SU(3).

Die Formel   A'   =   U A U+   entspricht genau der Transformationsformel für eine Matrix bei einem Basiswechsel zwischen Orthonormalbasen. Diese Formel ermöglicht es uns nun, genau zu definieren, was eine farbneutrale (weiße) Quark-Antiquark-Farbladungsmatrix sein soll, so wie wir sie für Mesonen brauchen: Eine solche Matrix soll sich bei der Veränderung des Blickwinkels im Farbladungsraum nicht ändern, d.h. es soll A' = A sein. Man spricht auch von einem Farb-Singulett. Bis auf einen Vorfaktor muss also A gleich der Einheitsmatrix E sein (also eine Diagonalmatrix mit Einsen in der Diagonalen), denn   U+U   =   1   . Den Vorfaktor wählen wir so, dass die Summe der drei quadrierten Wahrscheinlichkeitsamplituden Aii gleich 1 ist, so dass sich analog zu ψ und χ die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ergibt:

Quark + Antiquark -Farb-Singulett:

  A   =   E / √3

A ist also eine Diagonalmatrix mit den Diagonalmatrixelementen 1/√3. Das bedeutet, dass Quark und Antiquark immer entgegengesetzte Farbladungen tragen (z.B. rot und antirot) und dass die Wahrscheinlichkeit für alle drei Paarungen gleich groß ist, nämlich 1/3. Das ist genau unsere Meson-Farbladungstabelle von oben.

Um ein Farb-Singulett konstruieren zu können, hätten es auch allgemeinere Gruppen als SU(3) getan. Wenn wir oben überall U+ = U −1 schreiben (U −1 ist die inverse Matrix zu U), so sehen wir, dass wir für U auch eine beliebige invertierbare komplexe 3-mal-3-Matrix nehmen können, und immer noch ändert sich   A   =   E / √3   nicht bei der Transformation   A'   =   U A U −1   . Wir werden gleich sehen, dass erst die Bedingung, eine invariante Baryon-Farbwellenfunktion aufstellen zu können, die Gruppe auf SU(3) bzw. U(3) festlegt.


Baryonen:

Bei den Baryonen haben wir es mit drei Quarks zu tun, d.h. die entsprechenden Farbladungs-Wahrscheinlichkeitsamplituden haben drei Farbindices:   Bijk   . Alle diese Amplituden zusammen entsprächen einer dreidimensionalen Matrix B -- man spricht auch von einem Tensor. Ähnlich wie bei den Mesonen können wir hier jeweils zwei Farbladungen (Indices) festhalten, so dass der dritte Index die Farbladungen eines Quarks durchgeht und sich so wieder ein Quark-Farbladungs-Spaltenvektor ergibt. Das Transformationsverhalten von B sollte daher so aussehen:

Transformation der 3-Quark-Farbladungs-Wellenfunktion:

  B'   =   [U × U × U]   B

Die Bedeutung dieser Schreibweise kennen wir bereits von den Quark-Antiquark-Wellenfunktionen. In Komponenten ausgeschrieben lautet sie:

  B'ijk   =   ∑mnp Uim Ujn Ukp   Bmnp

wobei die Indices m, n, p in der Summe von 1 bis 3 laufen. Das erste U in   [U × U × U]   wirkt also nur auf den ersten Index von B usw.. Wieder haben wir eine Produktdarstellung von SU(3) vor uns, wobei wir uns B als 27-komponentigen Vektor mit Dreifachindex (ijk) vorstellen können und   [U × U × U]   als zugehörige Darstellungsmatrix auf den 3-Quark-Farbladungs-Wellenfunktionen.

Wie muss hier ein Farb-Singulett aussehen, also ein farbneutrales (weißes) B, dass sich bei der Veränderung des Blickwinkels im Farbladungsraum nicht ändert, so dass B' = B ist? Hier brauchen wir nun, dass U aus der Gruppe SU(3) stammt, so dass   det U = 1   ist. Ausgeschrieben ist

  det U   =   ∑mnp U1m U2n U3p   εmnp   =   1

mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol εmnp , d.h. εmnp ist   1   , wenn (m, n, p) = (1, 2, 3) oder (2, 3, 1) oder (3, 1, 2) ist, oder   − 1   , wenn (m, n, p) = (1, 3, 2) oder (2, 1, 3) oder (3, 2, 1) ist, und Null sonst. Vertauschung von zwei Indices in εmnp ergibt also einen Vorzeichenwechsel. Man sagt auch, εmnp ist das Signum der Permutation von (1, 2, 3) nach (m, n, p).

Der obige Ausdruck für   det U   ist antisymmetrisch, wenn man darin beispielsweise die Indices 1 und 2 vertauscht, denn man kann dann die Indices m und n in der Summe ineinander umbenennen und muss sie dann in εmnp vertauschen, um den ursprünglichen Ausdruck zu erhalten. Analog findet man, dass der Ausdruck insgesamt antisymmetrisch beim Vertauschen zweier der drei Indices 1, 2, 3 und zugleich symmetrisch beim zyklischen Vertauschen dieser Indices ist. Wären zwei der Indices gleich, so folgt aus derselben Argumentation, dass die Summe dann Null ist. Es ist also

  ∑mnp Uim Ujn Ukp   εmnp   =   εijk   ∑mnp U1m U2n U3p   εmnp   =   εijk   det U   =   εijk

wenn U aus SU(3) ist und somit   det U = 1   gilt. Links steht nun genau die Transformationsformel für B, wenn wir   Bmnp = εmnp   setzen, und rechts kommt dann   εijk = Bijk   heraus. Da εijk insgesamt für 6 Indexkombinationen ungleich Null (und somit gleich 1) ist, fügen wir noch den Normierungsfaktor 1/√6 hinzu, so dass die Summe aller Amplitudenquadrate wieder 1 ergibt:

3-Quark-Farb-Singulett:

  Bijk   :=   εijk / √6  

Das ist unser weißes Baryon-Farbsingulett für 3-Quark-Farbladungszustände, denn es gilt für dieses B und für U aus SU(3)

  B   =   B'   =   [U × U × U]   B

Die Baryon-Farbladungstabelle oben ist genau dieses B. Die Farbladungs-Amplituden Bijk sind also nur dann ungleich Null, wenn die drei Quarks verschiedene Farbladungen tragen (z.B. r, g, b). Dabei haben sie alle denselben Betrag, wechseln aber das Vorzeichen beim Vertauschen zweier Farbladungen. Das ist ein sehr nützlichen Nebeneffekt, denn dadurch wird das Pauliprinzip gerettet, das sich sonst bei einigen Baryonen nicht garantieren ließe. Ein Beispiel ist das Δ++-Baryon, das aus drei gleichen u-Quarks besteht, die alle denselben Spin aufweisen, so dass die gesamte Wellenfunktion vollkommen symmetrisch beim Austausch zweier Quarks wäre, wenn es nicht die Farbladung und die zugehörige antisymmetrische Farbladungs-Wellenfunktion gäbe.

Wäre auch bei einer anderen Gruppe als SU(3) das obige B ein Farbladungs-Singulett? Wenn wir uns die Rechnung oben ansehen, so stellen wir fest, dass dann   B' = B det U   gilt. Bei U aus U(3) statt SU(3) wäre   det U   ein harmloser Phasenfaktor, den wir weglassen können, so dass wir uns auf SU(3) beschränken können (hatten wir oben bereits diskutiert). Bei einer nicht-unitären Gruppe würde der Faktor   det U   jedoch stören -- eine nicht-unitäre Gruppe für Transformationen im Farbladungsraum passt also nicht zu unseren Anforderungen.


Starke Kraftfelder (warum 8 Gluonen?):

Starke Kraftfelder transportieren Farbladungen zwischen Quarks hin und her. So kann man sich vorstellen, dass die Farbladung rot in die eine Richtung und die Farbladung blau in die Gegenrichtung transportiert wird (was gleichwertig dazu ist, dass die Farbladung antiblau parallel zu rot transportiert wird). Ein starkes Kraftfeld sollte also Indices i und j haben, die für die transportierte Farbladung und Anti-Farbladung stehen. Damit kann man ein starkes Kraftfeld durch eine komplexwertige 3-mal-3-Matrix A darstellen, ganz analog zu der Quark + Antiquark -Farbladungs-Wellenfunktion oben.

Genau genommen kommt hier noch ein weiterer Index μ = 1 bis 4 hinzu, so dass die vier A-Matrizen zusammen einen relativistischen Vierervektor bilden. Man müsste dann auch genauer von Eichpotentialen sprechen, aus denen man die Kraftfelder berechnen kann (übrigens haben bei globalen Farbraum-Transformationen auch die Kraftfelder bzw. der sogenannte Feldstärketensor im Farbladungsraum dasselbe Transformationsverhalten wie die Eichpotentiale, so dass der Unterschied hier unwichtig ist). In der quantisierten Version treten außerdem Gluonen an die Stelle der Kraftfelder, so dass man A in Zusammenhang mit einer Gluon-Farbladungs-Wellenfunktion sehen kann. Wir wollen hier nicht weiter ins Detail gehen -- mehr dazu und zu Gluonen in Kapitel 5.3.

Die Gluonmatrix A transformiert sich bei Veränderung des Blickwinkels im Farbladungsraum genau wie die Quark + Antiquark -Farbladungs-Wellenfunktion, was aufgrund der Bedeutung der Indices (Farbladung und Anti-Farbladung) auch naheliegt:

Transformation der Gluon-Farbladungs-Wellenfunktion:

  A'   =   U A U+

Die Matrix A hat insgesamt 9 komplexwertige Matrixelemente Aij, entsprechend den 9 möglichen Kombinationen von Farbladung und Anti-Farbladung, für die es jeweils eine Wahrscheinlichkeitsamplitude gibt. Man könnte daher in diesem Sinne annehmen, dass es neun Gluonen gibt. Hier führt jedoch das zu einfache anschauliche Farbbild in die Irre, denn es gibt eine weitere Zusatzbedingung, die wir aufgrund experimenteller Beobachtungen über die starke Wechselwirkung hinzunehmen müssen: Es gibt keine freien Gluonen, d.h. Gluonen sind immer im Inneren der Hadronen eingeschlossen, analog zu Quarks und Antiquarks. Freie Gluonen müssten wir durch farbneutrale Objekte (Farb-Singuletts) darstellen, wenn wir davon ausgehen, dass alle freien Teilchen farbneutral sein müssen (Stichwort Confinement). Nun gibt es bei den Gluonmatrizen A aber genau solche Farbsinguletts, nämlich die Matrizen der Form   A = k E   mit irgendeiner komplexen Zahl k ungleich Null und der Einheitsmatrix E (entsprechend unserer farbneutralen Quark-Antiquark-Matrix für Mesonen von oben). Solche Matrizen müssen wir ausschließen, wenn wir keine freien farbneutralen Gluonen haben wollen. Das kann man durch die Zusatzbedingung

  Spur A   =   ∑i Aii   =   0

erreichen, d.h. A soll eine spurlose Matrix sein. Glücklicherweise ist dann auch die Matrix   A' = U A U+   spurlos, so dass die Bedingung nicht durch eine Transformation im Farbladungsraum zerstört wird. Die Zusatzbedingung bedeutet, dass nur zwei der drei Diagonalelemente von A voneinander unabhängig sind. Damit bleiben 8 unabhängige komplexe Zahlen zur Beschreibung von A übrig. In diesem Sinne spricht man davon, dass es 8 Gluonen gibt.

Man kann A also als komplexe Linearkombination von 8 Basismatrizen schreiben. Diese Basismatrizen kann man hermitesch wählen (also beispielsweise die 8 Gell-Mann-Matrizen nehmen, die wir weiter unten noch kennenlernen werden). Hintergrund dazu ist, dass man A in zwei Anteile zerlegen kann, die durch die obige Transformation nicht miteinander vermischt werden:

  A   =   (A + A+)/2   +   (A − A+)/2   =:   Ah + Aah

Dabei gilt   Ah+ = Ah   und   Aah+ = − Aah   , d.h. wir haben A in einen hermitschen Anteil Ah und einen antihermiteschen Anteil Aah aufgeteilt (h und ah sind hier nur Matrix-Kennzeichner zum Unterscheiden der beiden Matrizen, keine Laufindices). Man kann nun leicht nachrechnen, dass auch   U Ah U+   hermitesch bzw.   U Aah U+   antihermitesch ist. Die Transformation mischt also hermitesche und antihermitesche Matrizen nicht miteinander.

In einer hermitschen Matrix erfüllen die Matrixelemente die Bedingung   Aij = Aji*   . Die drei Diagonal-Matrixelemente sind also reell, und die drei Matrixelemente links unter der Diagonalen ergeben sich aus den drei Matrixelementen rechts über der Diagonalen durch komplexes Konjugieren. Insgesamt haben wir also drei unabhängige reelle und drei unabhängige komplexe Matrixelemente, die wir insgesamt durch neun unabhängige reelle Zahlen beschreiben können. Nehmen wir die Spurlosigkeit hinzu, so bleiben 8 reelle Parameter. Entsprechend können wir den hermiteschen Anteil von A als reelle Linearkombination von 8 hermiteschen spurlosen Basismatrizen schreiben (wir werden solche Basismatrizen etwas weiter unten noch kennenlernen).

Nun können wir aus jeder hermiteschen Matrix durch Multiplikation mit der imaginären Einheit   i   eine antihermitesche Matrix machen und umgekehrt. Die 8 hermiteschen Basismatrizen ergeben daher nach Multiplikation mit i eine Basis für den antihermiteschen Anteil von A. Insgesamt ergibt sich so, dass wir jede spurlose invertierbare Matrix A als komplexe Linearkombination von 8 hermiteschen invertierbaren spurlosen Basismatrizen schreiben können. Die Realteile der Koeffizienten sorgen für den hermiteschen Anteil, die Imaginärteile der Koeffizienten für den antihermiteschen Anteil von A.

Wenn die Matrix A für das klassische (nicht quantisierte) starke Kraftfeld (Eichpotential) steht, dann kann man sich auf den hermiteschen Anteil beschränken, d.h. A ist dann eine reelle Linearkombination der 8 hermiteschen Basismatrizen. Warum das so ist, werden wir in Kapitel 5.3 genauer kennenlernen.


Farbladungens-Wellenfunktionen und SU(3)-Quantenzahlen:

In der Grafik am Beginn dieses Kapitels haben wir die drei Farbladungen als Ecken eines Dreiecks in ein x-y-Koordinatensystem eingetragen. Wieso geht das? Klar -- es gibt die Analogie zum Farbkreis. Doch was genau wird hier eigentlich eingetragen, und welche Bedeutung haben die beiden Koordinatenachsen?

Um das herauszufinden, müssen wir die Struktur der Gruppe SU(3) genauer analysieren. Das funktioniert weitgehend analog zur Analyse der Drehgruppe (genauer deren Überlagerungsgruppe SU(2) ), so wie man es aus der Standard-Quantenmechanik des Drehimpulses her kennt. Mehr dazu findet man auch in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 4.8: Drehungen, Spin und Drehimpuls.

Man kann allgemein zeigen, dass man jede Matrix aus U(3) oder SU(3) (allgemeiner auch U(n) oder SU(n) ) in der folgenden Form schreiben kann (siehe z.B. Wikipedia: Matrixexponential):

  U   =   ei H   :=   1   +   (i H)   +   (i H)2 / 2   +   (i H)3 / (2*3)   +   ...

wobei H eine komplexe 3-mal-3-Matrix ist und die Exponentialabbildung über die dargestellte Exponentialreihe definiert ist. Weiter kann man zeigen: Aus der Unitarität von U folgt, dass die Matrix H hermitesch ist (H nicht mit dem quantenmechanischen Hamiltonoperator verwechseln). Beweis siehe Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 4.6 Darstellung von Symmetrien in der Quantentheorie (einfach   H =: tH' schreiben mit reellem t und dann   U+ U = 1   nach t bei t=0 ableiten).

Wir hatten oben am Beispiel der hermiteschen Matrix A bereits gesehen, dass eine hermitesche Matrix mit neun reellen Zahlen parametrisiert werden kann. Man kann sie also als reelle Linearkombination von neun hermiteschen Basismatrizen schreiben, die wir mit λ1 , ... , λ9 bezeichnen wollen (der Faktor −1/2 ist dabei Konventionssache):

  H   =   − ∑i αi λi/2

Dabei sind die Koeffizienten αi reelle Zahlen. Die Matrix H und damit auch die Matrix U hängen also von diesen 9 reellen Parametern ab. Zum Vergleich: bei der Drehgruppe entsprechen diese Parameter den Drehwinkeln.

Wir hatten oben gesehen, dass man jede unitäre Matrix als Produkt einer speziell unitären Matrix mal einem Phasenfaktor schreiben kann. Insbesondere gehört die Matrix   U = ei φ E   zu U(3), aber nicht zu SU(3). Entsprechend kann man eine der 9 Basismatrizen gleich der Einheitsmatrix E wählen. Wir setzen   λ9 = E   , so dass   e− i α9 λ9/2   =   e− i α9 E/2   =   e− i α9/2 E   genau so einen Phasenfaktor ergibt (indem wir α9/2 = − φ wählen). Umgekehrt: Wenn wir U auf SU(3) beschränken wollen, so müssen wir genau solche Matrizen ausschließen. In diesem Fall geht die Summe für H nur von i = 1 bis 8, wobei die Einheitsmatrix E nicht zu den 8 Basismatrizen gehört. Ganz allgemein kann man mit Hilfe der Formel

  det U   =   ei Spur H

zeigen, dass aus   det U = 1   die Bedingung   Spur H = 0   folgt (die obige Formel kann man beispielsweise durch Diagonalisierung der Matrix U beweisen). Das kennen wir schon von unserer Gluon-Farbladungsmatrix von oben. Die Matrix H und damit auch die 8 Basismatrizen müssen also spurlos sein.

Wie finden wir nun geeignete Basismatrizen? Dazu können wir uns von der Analogie zu der Gruppe SU(2) und den zugehörigen hermiteschen spurlosen 2-mal-2-Matrizen leiten lassen. Eine entsprechende Basis dieser hermiteschen spurlosen Matrizen bilden die drei Pauli-Matrizen:

 

Diese Pauli-Matrizen können wir nun auf drei verschiedene Weise durch Auffüllen mit Nullen zu 3-mal-3-Matrizen erweitern:

Allerdings ergibt das neun statt acht Basismatrizen. Wenn wir uns die drei Diagonalmatrizen

  λ3   =   diag(1, −1, 0)
  λ6'   =   diag(1, 0, −1)
  λ8'   =   diag(0, 1, −1)

ansehen, so stellen wir fest, dass diese drei Matrizen nicht linear unabhängig sind, denn   λ3 − λ6' + λ8' = 0   . Wir könnten daher einfach eine der drei Diagonalmatrizen wegfallen lassen. Es hat sich eingebürgert, statt dessen die beiden Matrizen λ6' und λ8' durch ihre mit 1/√3 normierte Summe zu ersetzen:

  λ8   :=   (λ6' + λ8') / √3   :=   diag(1, 1, −2) / √3

Der Normierungsfaktor wird dabei so gewählt, dass für alle Basismatrizen die Beziehung   Spur( λi λj ) = 2 δij   erfüllt ist (mit dem Kronecker-Symbol δij = 1 für i = j und Null sonst). Letztlich bedeutet das für λ8 , dass die Summe der quadrierten Diagonalelemente gleich 2 ist. Wozu das gut ist, sehen wir weiter unten.

Man bezeichnet diese Basismatrizen auch als Gell-Mann-Matrizen (benannt nach Murray Gell-Mann, der zusammen mit anderen im Jahre 1964 die Hypothese aufstellte, dass alle Hadronen aus Quarks aufgebaut sind, siehe Kapitel 4.2). Hier sind diese Matrizen noch einmal explizit:


Da wir diese 8 Basismatrizen in Analogie zu den 3 Paulimatrizen σi gewählt haben, definieren wir nun analog zu den Spinmatrizen   Si = σi / 2   die F-Matrizen

  Fi   :=   λi / 2  

Dabei verhalten sich die folgenden Dreiergruppen bezüglich ihrer Multiplikationseigenschaften untereinander genau wie die drei Spinmatrizen, denn sie wurden ja analog gebildet (daher nennt man die Dreiergruppen auch formal T-Spin, V-Spin und U-Spin):

Man kann nun analog zu Spins auch hier jeweils Leiteroperatoren etc. definieren und so systematisch die Darstellungen von SU(3) konstruieren. Das würde hier jedoch zu weit führen.

Bei Spin 1/2 kann man die Quanten-Basiszustände durch eine Quantenzahl kennzeichnen: die Spinkomponente m bezogen auf eine Raumrichtung. Meist wählt man dafür die z-Richtung, so dass in dieser Basis der Spinoperator   S3 = σ3 / 2   diagonal ist und in der Diagonale die beiden m-Werte enthält. Die beiden Basisvektoren (1,0) und (0,1) sind dann Eigenvektoren von S3 zu den Eigenwerten m = 1/2 und −1/2.

Analog kann man auch bei der Quark-Farbladungswellenfunktion vorgehen. Dem Spinoperator   S3   entsprechen die drei Operatoren (Matrizen) F3, F6' und F8', die wir diagonal gewählt hatten, so dass unsere Basis im Farbladungsraum den Eigenvektoren dieser Operatoren entspricht. Die Eigenwerte sind dann die entsprechenden Diagonalelemente dieser Matrizen. Da diese drei Matrizen nicht linear unabhängig sind, hatten wir außerdem den Operator   F8 = (F6' + F8') / √3   eingeführt. Hier sind die entsprechenden Eigenwerte (Diagonalelemente) dieser Matrizen für unsere drei Basisvektoren:

  Farbladung     Basisvektor   EW von:   F3     F6'     F8'     F8 = (F6' + F8') / √3  
  rot     (1, 0, 0)     1/2   1/2   0   1/(2 √3)
  gelb     (0, 1, 0)     −1/2   0   1/2   1/(2 √3)
  blau     (0, 0, 1)     0   −1/2   −1/2   −1/√3

Jedem Basisvektor ist also eine eindeutige Eigenwert-Kombination von F3, F6' und F8' zugeordnet, oder alternativ eine eindeutige Eigenwertkombination von F3 und F8. Wir können also die Basisvektoren durch eine solche Eigenwert-Kombination eindeutig kennzeichnen. Das ermöglicht es uns, die Basisvektoren in einem Eigenwert-Koordinatensystem eindeutig einzutragen. Dazu tragen wir beispielsweise auf der x-Achse den F3 -Eigenwert des Basisvektors ein, auf der y-Achse den F6' -Eigenwert und auf der z-Achse den F8' -Eigenwert. Damit ergibt sich für jeden Basisvektor ein Punkt in diesem Koordinatensystem, oder alternativ ein Vektor vom Ursprung zu diesem Punkt, dessen Komponenten die drei Eigenwerte bilden. Die drei Punkte bilden dabei die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, das schräg in diesem Koordinatensystem liegt und durch den Ursprung geht, da die zugehörigen 3 Eigenwert-Vektoren linear abhängig voneinander sind. Der Vektor   (1, −1, 1)   ist einen Normalenvektor zu dieser Dreiecksfläche, steht also senkrecht darauf -- in der Dreiecks-Ebene gilt also für die Koordinaten der Zusammenhang   x − y + z = 0   .



Darstellung der drei Farbladungs-Basisvektoren durch ihre Eigenwerte bezüglich der drei diagonalen T-, V- und U-Spinmatrizen F3, F6' und F8'.


Da die drei Punkte in einer Ebene liegen, ist es naheliegend, in dieser Ebene ein zweidimensionales Koordinatensystem einzuführen, so dass wir die 3 Farb-Basisvektoren durch Punkte in dieser Ebene statt durch Punkte im dreidimensionalen Raum kennzeichnen können. Wir definieren die Koordinaten a und b in der Ebene durch   a := x   und   b := (y + z)/√3   , so dass sich als b-Koordinate der F8-Eigenwert ergibt. Die Bedingung   x − y + z = 0   können wir dann dadurch erfüllen, dass wir   y = a/2 + b√3/2   und   z = −a/2 + b√3/2   setzen. Vektoriell kann man das auch schreiben als

  (x, y, z)   =   a · (1, 1/2, −1/2)   +   b √3/2 · (0, 1, 1)

Wie wir sehen, sind die beiden Vektoren auf der rechten Seite senkrecht zum Normalenvektor   (1, −1, 1)   , so dass dies wirklich eine Parametrisierung der Fläche ist. Außerdem haben die beiden Vektoren dieselbe Länge (genau dafür braucht man den Normierungsfaktor √3 ) und stehen senkrecht aufeinander, bilden also die Achsen eines karthesischen Koordinatensystems auf der Fläche.

Entsprechend der obigen Formeln tragen wir in diesem a-b-Koordinatensystem der Ebene nun auf der a-Achse den F3-Eigenwert und auf der b-Achse den F8-Eigenwert des jeweiligen Basisvektors ein. Es ergibt sich damit das folgende Bild:



Darstellung der drei Farbladungs-Basisvektoren durch ihre Eigenwerte bezüglich der zwei diagonalen Spinmatrizen F3 und F8. Die Grafik im Buch sowie oben in der Kapitel-Zusammenfassung ist zufällig etwas anders aufgebaut (F8 nach unten sowie andere Farb-Namenskonvention), aber das Prinzip ist das Gleiche.


In der Literatur schreibt man oft T3 statt F3 sowie (bis auf einen Vorfaktor) Y statt F8, wobei man den Faktor zwischen Y und F8 so wählt, dass glatte Zahlen für die Eigenwerte entstehen. Im Prinzip ist die Situation jedoch vollkommen symmetrisch bezüglich Drehungen um 120 Grad, was man am besten im dreidimensionalen Koordinatensystem oben sieht.

Wie sieht das entsprechende Bild für die Farbladung von Antiquarks aus? Oben haben wir gesehen: Wenn ein Quark-Farbladungsvektor ψ mit der SU(3)-Matrix U verändert wird, so muss parallel dazu ein Antiquark-Farbladungsvektor χ mit der komplex konjugierten Matrix U* verändert werden. U und U* sind also die Darstellungsmatrizen auf den Quark- bzw. Antiquark-Farbladungsvektoren zu einer bestimmten Änderung im Farbraum. Nun ist

  U     =   e− i ∑i αi Fi  
  U*   =   e− i ∑i αi (− Fi*)  

Man drückt das analog so aus: Die Matrizen   Fi   sind die Darstellungsmatrizen des Exponenten auf den Quark-Farbladungsvektoren, und die Matrizen   (− Fi*)   sind die Darstellungsmatrizen des Exponenten auf den Antiquark-Farbladungsvektoren. Ganz allgemein erhält man aus einer Darstellungsmatrix u einer Änderung im Farbladungsraum die zugehörige Darstellungsmatrizen fi des Exponenten über die Beziehung

  fi   :=   i   du/dαi |αi = 0

so dass   u     =   e− i ∑i αi fi   gilt. Bei Quarks ist dann   u = U   und   fi = Fi   , bei Antiquarks   u = U*   und   fi = − Fi*   , bei Quark + Antiquark oder Gluonen   u = [U × U*]   (zu den fi kommen wir gleich) und bei 3 Quarks   u = [U × U × U]   .

Die Eigenwerte der Antiquark-Darstellungmatrizen   (− Fi*)   sind nun genau das Negative der Eigenwerte der Quark-Darstellungmatrizen   Fi   . Wir müssen also in unserem obigen Bild die Farbladungen am Ursprung spiegeln, um zu den Anti-Farbladungen zu gelangen, denn wir wollen die Eigenwerte der entsprechenden Darstellungsmatrizen dort eintragen.

Wenn man nun mehrere Quarks und Antiquarks zusammen betrachtet, wie müsste man dann die zugehörigen Basis-Farbwellenfunktionen in der Grafik eintragen? Dazu muss man wissen, dass sich beim Zusammensetzen von Quarks und Antiquarks die zugehörigen Eigenwerte der Quark- und Antiquark-Darstellungsmatrizen fi additiv verhalten. Nehmen wir als Beispiel zwei Quarks oder Antiquarks. Die zugehörige Farbladungs-Wellenfunktion A transformiert sich dann nach der Formel   A' = u A = [u' × u''] A   , wobei u' und u'' gleich U oder U* sein können, und   u = [u' × u'']   ist. Die entsprechende Darstellungsmatrix fi des Exponenten wäre dann

  fi   =   i   du/dαi |αi = 0   =  
  =   i   d [u' × u''] / dαi |αi = 0   =  
  =   i   { [du'/dαi × u'']   +   [u' × du''/dαi] }αi = 0   =  
  =   [f 'i × E]   +   [E × f ''i]

mit der Einheitsmatrix E. Ganz analog geht es auch bei mehr Quarks / Antiquarks. Damit können wir nun die Darstellungsmatrizen fi bei Quark + Antiquark angeben. Sie lauten
  fi   =   [Fi × E]   +   [E × (− Fi*)]   .
Bei 3 Quarks lauten sie dagegen
  fi   =   [Fi × E × E]   +   [E × Fi × E]   +   [E × E × Fi]   .
Das sind für i = 3 und 8 dann Diagonalmatrizen, denn wenn man allgemein zwei Diagonalmatrizen A und B entsprechend kombiniert, so ist

  {[A × E]   +   [E × B]}mn,pq   =  
  =   [A × E]mn,pq   +   [E × B]mn,pq   =  
  =   Amp Enq   +   Emp Bnq   =  
  =   am δmp δnq   +   δmp bn δnq   =  
  =   (am + bn) δmn,pq

mit dem Kronecker-Symbol δ und den Diagonalelementen am und bn . Entsprechend addieren sich die Eigenwerte der f3 und f8 -Darstellungsmatrizen, d.h. beim Kombinieren von Quark- und Antiquark-Farbladungen können wir die entsprechenden Farbvektoren in der obigen Grafik einfach addieren. Für die Kombination von Farbladung und Anti-Farbladung (bzw. für Mesonen oder Gluonen) ergibt sich so insgesamt das folgende Bild:



Darstellung verschiedener Farbladungs-Basisvektoren durch ihre Eigenwerte bezüglich der zwei diagonalen Spinmatrizen F3 und F8. Auf dem inneren dunkelblauen Kreis sehen wir die Farbladungen der Quarks (dargestellt durch die Grundfarben rot, gelb, blau) und gegenüberliegend die Anti-Farbladungen der Antiquarks (dargestellt durch die Komplementärfarben grün, violett, orange). Kombiniert man Farbladung und Anti-Farbladung, so addieren sich die Eigenwerte und es ergeben sich die neun dargestellten Kombinationsmöglichkeiten: außen sechs (rotes Sechseck) und innen drei. Die drei Kombinationen im Zentrum haben die Eigenwerte Null, sind aber noch keine Farb-Singuletts. Man kann aus den drei entsprechenden Farbladungs-Basisvektoren eine vollkommen symmetrische Linearkombination bilden, die bei Änderungen im Farbraum unverändert bleibt (das Singulett), sowie zwei weitere Linearkombinationen, die zu den äußeren sechs Kombinationen gehören und mit ihnen zusammen ein Oktett bilden. Linearkombinationen dieser acht Basisvektoren werden durch eine Änderung im Farbladungsraum wieder in andere Linearkombinationen dieser acht Basisvektoren umgewandelt.


Für jede Kombination aus Farbladung und Antifarbladung entsteht ein Punkt in der Grafik, so dass wir 9 Punkte erhalten. Drei davon liegen in der Mitte, nämlich die drei Kombinationen rot-antirot, gelb-antigelb und blau-antiblau. Sie haben also in diesem Sinn alle drei die Farbladung weiß. Dennoch können sich die entsprechenden Farbladungsmatrizen bei einer Transformation im Farbraum verändern und somit Farbladung erhalten, was die Grafik so nicht hergibt. Lediglich eine bestimmte Linearkombination ist invariant und damit wirklich weiß -- unser Singulett, das wir oben bereits betrachtet haben.

Die Situation ist ganz analog zur Kombination zweier Elektronenspins. Die Spinkomponenten   m   und   m'   in z-Richtung addieren sich, d.h. der Spin-Gesamtzustand hat die Spinkomponente   M = m + m'   . Bei zwei entgegengesetzt orientierten Spins (also M = 0) muss der entsprechende Spinzustand dennoch nicht invariant unter räumlichen Drehungen sein. Es könnte sich ja um einen Zustand mit Gesamtspin 1 handeln. Nur der Zustand mit Gesamtspin 0 ist invariant bei Drehungen, also ein Singulett. Analoge Untersuchungen kann man auch für Farbladungen machen, d.h. man betreibt die Ausreduktion von SU(3)-Produktdarstellungen. Das bedeutet beispielsweise, dass man die 9-mal-9-Matrix   [U × U*]   durch Basiswechsel in eine Block-Diagonalgestalt bringt. Es ergibt sich dabei ein 8-mal-8-Block und ein 1-mal-1-Block (also eine 1 im Diagonalelement). Zu dieser 1 gehört genau der Singulettzustand, also beispielsweise die Meson-Farbwellenfunktion oder das verbotene Gluon. Der 8-mal-8-Block dagegen beschreibt beispielsweise die Farb-Transformation der 8 Gluonen.



Literatur:


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last modified on 18 November 2010