Wir haben im vorherigen Kapitel sowie in Kapitel 4.10 den Begriff der Helizität kennengelernt. Die Helizität eines Teilchenzustandes mit festem Impuls \(\boldsymbol{p}\) gibt die Spinkomponente in Impulsrichtung an. Bei masselosen Teilchen ändert sich die Helizität bei Lorentztransformationen (ohne Spiegelungen) nicht (siehe Kapitel 4.10). Man kann die Helizität aber auch bei Teilchen mit positiver Masse einführen, denn auch hier ist die Spinkomponente in Impulsrichtung eine sinnvolle Messgröße. Ausgedrückt durch die Impulsamplitude \( f(\boldsymbol{p}) \) aus dem vorherigen Kapitel ist die Helizität \( \lambda = \pm 1/2 \) dann gegeben durch
| Helizität: Spinkomponente in Impulsrichtung \[ \frac{1}{2} \, \frac{\boldsymbol{\sigma p}}{|\boldsymbol{p}|} \, f(\boldsymbol{p}) = \lambda \, f(\boldsymbol{p}) \] |
Bei positiver Masse kann sich die Helizität bei Lorentztransformationen ändern, denn man kann ein massives Teilchen überholen und so dessen Impuls umdrehen, ohne seine Spinkomponente in Impulsrichtung zu ändern. Bei masselosen Teilchen geht das nicht.
Man kann diese Gleichung in eine Gleichung für die Felder \( \xi_{+}(p) \) (Weyl-Spinor) und \( \eta_{+}(p) \) (konjugierter Weyl-Spinor) umschreiben. Der Zusammenhang zwischen diesen Felder und der Impulsamplitude \( f(\boldsymbol{p}) \) lautete (siehe das vorherige Kapitel):
| \[ \xi_{+}(p) := g(p) \, f(\boldsymbol{p}) \] \[ \eta_{+}(p) := (g(p)^{+})^{-1} \, f(\boldsymbol{p}) \] |
mit \( p^{0} = \sqrt{m^{2} + \boldsymbol{p}^{2}} \) . Die hermitesche Matrix \(g(p)\) gehört zu dem Boost, der das Teilchen (bei \(m \gt 0\)) aus seinem Ruhesystem auf den Impuls \(p\) boostet. Es ist \[ g(p) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \] \[ (g(p)^{+})^{-1} = [\tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right)]^{1/2} \] mit \[ \sigma(p) = 1 \, p^{0} + \boldsymbol{\sigma p} \] und \[ \tilde{\sigma}(p) = 1 p^{0} - \boldsymbol{\sigma p} \] (siehe vorheriges Kapitel).
Der entscheidende Punkt ist nun, dass die Matrix \( \boldsymbol{\sigma p} \) mit den Matrizen \( g(p) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \) sowie \( (g(p)^{+})^{-1} = [\tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right)]^{1/2} \) vertauscht.
Die Boosts \( g(p) \) und \( (g(p)^{+})^{-1} \) lassen sich nämlich jeweils in der Form \[ \cosh{\frac{\alpha}{2}} \, 1 + \sigma(\boldsymbol{e}) \sinh{\frac{\alpha}{2}} \] schreiben mit geeigneter Rapidität \(\alpha\) und Boostrichtung \(\boldsymbol{e}\) parallel zu \(\boldsymbol{p}\) (siehe Kapitel 4.10). Die dort auftretenden Matrizen \( 1 \) und \(\sigma(\boldsymbol{e}) = \boldsymbol{\sigma e}\) vertauschen nun beide mit \(\boldsymbol{\sigma p}\).
Daher können wir die Gleichung \[ \frac{1}{2} \, \frac{\boldsymbol{\sigma p}}{|\boldsymbol{p}|} \, f(\boldsymbol{p}) = \lambda \, f(\boldsymbol{p}) \] oben mit \( g(p) \) oder \( (g(p)^{+})^{-1} \) multiplizieren und \( \boldsymbol{\sigma p} \) jeweils nach links tauschen, so dass sich die folgenden beiden Helizitätsgleichungen für die beiden Felder ergeben:
| Helizität: Spinkomponente in Impulsrichtung \[ \frac{1}{2} \, \frac{\boldsymbol{\sigma p}}{|\boldsymbol{p}|} \, \xi_{+}(p) = \lambda \, \xi_{+}(p) \] \[ \frac{1}{2} \, \frac{\boldsymbol{\sigma p}}{|\boldsymbol{p}|} \, \eta_{+}(p) = \lambda \, \eta_{+}(p) \] |
Neben dem Begriff der Helizität gibt es den Begriff der Chiralität (Händigkeit). Man nennt das Feld \( \xi_{+}(p) \) rechtshändig und das Feld das Feld \( \eta_{+}(p) \) linkshändig.
Anmerkung: Meist definiert man links- und rechtshändige Felder mit Hilfe der \(\gamma^{5}\)-Matrix auf Basis der Diracspinoren. Da wir hier die Diracmatrizen in der Weyl-Darstellung verwenden, ist das jedoch überflüssig bzw. führt zu unserem Ergebnis aus dem vorherigen Kapitel, dass der Diracspinor \[ \psi_{+}(p) = \begin{pmatrix} \xi_{+}(p) \\ \eta_{+}(p) \end{pmatrix} \] ist. Manche Autoren verwenden etwas andere Vorzeichen-Konventionen für die Diracmatrizen in der Weyl-Darstellung, so dass dort ggf. das linkshändige Feld im Diracspinor oben statt unten stehen kann.
Die Namensgebung links- bzw. rechtshändig wird durch den masselosen Grenzfall motiviert: Aus dem vorherigen Kapitel wissen wir, dass bei masselosen Teilchen für \( \xi_{+}(p) \) nur die Helizität \( \lambda = + 1/2 \) möglich ist (warum das so ist, werden wir auch weiter unten erneut sehen). Der Spin zeigt also in Impulsrichtung, d.h. im klassischen Bild dreht sich das Teilchen analog zu den Fingern einer rechten Hand, die sich um die Daumenachse krümmen. Beim Feld \( \eta_{+}(p) \) ist es genau umgekehrt.
Bei positiver Masse kann das Feld \( \xi_{+}(p) \) beide Helizitäten aufweisen, ebenso wie \( \eta_{+}(p) \). Dennoch behält man die Bezeichnungen rechtshändig und linkshändig bei. Der Hauptgrund ist, dass auch bei positiver Masse die beiden Felder durch eine Raumspiegelung vertauscht werden, so wie auch eine linke Hand spiegelbildlich zu einer rechten Hand ist. Warum das so ist, kann man folgendermaßen sehen:
Statt einer Spiegelung an einer Ebene betrachtet man in der Physik gerne eine Raumspiegelung am Ursprung, d.h. aus dem Ortsvektor \(\boldsymbol{x}\) wird der Ortsvektor \(-\boldsymbol{x}\). Diese spezielle Raumzeit-Transformation nennt man auch Paritätstransformation \(P\) (nicht mit dem Impuls verwechseln!), d.h. \[ P \, \boldsymbol{x} = - \boldsymbol{x} \] bzw. \[ P \, x = P \, \begin{pmatrix} t \\ \boldsymbol{x} \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} t \\ P \, \boldsymbol{x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ - \boldsymbol{x} \end{pmatrix} \] (wir verwenden wieder natürliche Einheiten mit \(c = 1\).
Die Paritätstransformation macht aus rechtshändigen Objekten linkshändige Objekte, wie man sich leicht veranschaulichen kann. Bei einem Spin-1/2-Teilchen dreht sie den räumlichen Impuls um, verändert aber nicht die Spinrichtung, denn analog bleibt auch der Drehimpuls eines klassischen rotierenden Objektes unverändert. Die Paritätstransformation dreht also auch die Helizität eines Teilchens um.
Was geschieht nun bei einer Paritätstransformation mit den beiden Feldern?
Die Paritätstransformation macht aus der Impulsamplitude \( f(\boldsymbol{p}) \) die
räumlich gespiegelte Impulsamplitude
\[
[T_{P} f](\boldsymbol{p})
= f(P \, \boldsymbol{p}) = f(-\boldsymbol{p})
\]
(eine mögliche Phase haben wir hier zur Vereinfachung weggelassen).
Das muss man natürlich eigentlich herleiten,
ist aber auch anschaulich verständlich, da eine Raumspiegelung den
Impuls umdreht und den Spin unverändert lässt.
Für die Felder bedeutet das:
\[
[T_{P} \, \xi_{+}](p) := g(p) \, [T_{P} f](\boldsymbol{p})
=
\]
\[
= \sigma\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \, f(P\boldsymbol{p}) =
\]
\[
= \tilde{\sigma}\left(\frac{P \, p}{m}\right)^{1/2} \, f(P\boldsymbol{p})
=
\]
\[
= \eta_{+}(P \, p)
\]
\[
[T_{P} \, \eta_{+}](p) := (g(p)^{+})^{-1} \, [T_{P} f](\boldsymbol{p}) =
\]
\[
= \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \, f(P\boldsymbol{p}) =
\]
\[
= \sigma\left(\frac{P \, p}{m}\right)^{1/2} \, f(P\boldsymbol{p})
=
\]
\[
= \xi_{+}(Pp \, )
\]
d.h. eine Raumspiegelung macht aus dem rechtshändigen Feld \( \xi_{+}(p) \)
das linkshändige Feld \( [T_{P} \, \xi_{+}](p) =
\eta_{+}(Pp) \) und umgekehrt.
Das erklärt die Verwendung des Begriffs Chiralität (Händigkeit)
für diese Felder.
Die beiden Felder haben eine weitere Eigenschaft, die sie bei Teilchen mit Masse von der Helizität unterscheiden: Eine Lorentztransformation mischt links- und rechtshändige Felder nicht, wie wir aus dem vorherigen Kapitel wissen. Es gilt vielmehr \[ [T_{g} \xi_{+}](p) = g \, \xi_{+}(\Lambda^{-1}p) \] \[ [T_{g} \eta_{+}](p) = (g^{+})^{-1} \, \eta_{+}(\Lambda^{-1}p) \] Bei Drehungen ist \( g = u \) eine unitäre Matrix, so dass beide Felder sich gleich transformieren. Bei Boosts ist dagegen \(g\) eine hermitsche Matrix, so dass sich beide Felder mit entgegengesetzten Matrizen transformieren.
Den Zusammenhang zwischen Chiralität und Helizität sieht man nun sehr schön, wenn man für die Quantisierungsachse der Spinkomponenten die Impulsrichtung verwendet. Wir legen wie üblich die z-Achse in diese Richtung, d.h. \[ \boldsymbol{p} = |\boldsymbol{p}| \, \boldsymbol{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ |\boldsymbol{p}| \end{pmatrix} \] und die obere Komponente der chiralen Felder gehört jeweils zur Spinkomponente +1/2 in z-Richtung, die untere zur Spinkomponente -1/2 in z-Richtung. Die Spinkomponente ist also bei dieser Achsenwahl identisch mit der Helizität. Die Felder sehen dann so aus:
|
\[
\xi_{+}(p) = \sigma\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \, f(\boldsymbol{p}) =
\]
\[
= \left(\frac{p^{0}}{m} 1 + \frac{|\boldsymbol{p}|}{m} \sigma_{3}\right)^{1/2} \, f(\boldsymbol{p})
=
\]
\[ =
\begin{pmatrix}
\left(\frac{p^{0}}{m} + \frac{|\boldsymbol{p}|}{m}\right)^{1/2} \, f_{+1/2}(\boldsymbol{p}) \\
\left(\frac{p^{0}}{m} - \frac{|\boldsymbol{p}|}{m}\right)^{1/2} \, f_{-1/2}(\boldsymbol{p})
\end{pmatrix}
\]
\[ \eta_{+}(p) = \tilde{\sigma}\left(\frac{p}{m}\right)^{1/2} \, f(\boldsymbol{p}) = \] \[ = \left(\frac{p^{0}}{m} 1 - \frac{|\boldsymbol{p}|}{m} \sigma_{3}\right)^{1/2} \, f(\boldsymbol{p}) = \] \[ = \begin{pmatrix} \left(\frac{p^{0}}{m} - \frac{|\boldsymbol{p}|}{m}\right)^{1/2} \, f_{+1/2}(\boldsymbol{p}) \\ \left(\frac{p^{0}}{m} + \frac{|\boldsymbol{p}|}{m}\right)^{1/2} \, f_{-1/2}(\boldsymbol{p}) ) \end{pmatrix} \] |
Was geschieht nun, wenn der Impulsbetrag \(|\boldsymbol{p}|\) immer größer wird, sodass zugleich \(|\boldsymbol{p}| \rightarrow p^0\) geht (da die Masse \(m\) im Vergleich immer unwichtiger wird)? Der Vorfaktor \[ \left(\frac{p^{0}}{m} + \frac{|\boldsymbol{p}|}{m}\right)^{1/2} \] dominiert in diesem Fall immer mehr über den anderen Vorfaktor \[ \left(\frac{p^{0}}{m} - \frac{|\boldsymbol{p}|}{m}\right)^{1/2} \] der immer kleiner wird.
Beim rechtshändigen Feld \( \xi_{+}(p) \) dominiert daher die obere Komponente mit \( f_{+1/2}(\boldsymbol{p}) \) und der Spinanteil mit Spin in Flugrichtung (positive Helizität) wird für das rechtshändige Feld immer wichtiger. Beim linkshändigen Feld ist es umgekehrt.
Anders ausgedrückt: Je größer der Impuls eines Teilchens im Verhältnis zu seiner Masse ist, umso mehr dominiert im zugehörigen rechtshändigen Feld der Anteil der Wellenfunktion mit positiver Helizität und im zugehörigen linkshändigen Feld der Anteil der Wellenfunktion mit negativer Helizität. Bei masselosen Teilchen fällt der unterdrückte Anteil sogar komplett weg, d.h. ein rechtshändiges Feld gehört komplett zu einer positiven Teilchenhelizität und umgekehrt. Im Ruhesystem mit \( p = (m, \boldsymbol{0}) \) ist dagegen \( \xi_{+}(p) = \eta_{+}(p) \) und beide Helizitäten tragen gleich stark zu beiden chiralen Feldern bei.
In der schwachen Wechselwirkung findet man nun oft die Aussage: Die schwache Wechselwirkung (genauer: die W-Bosonen) wirken nur auf linkshändige Teilchen. Das ist etwas unpräzise ausgedrückt und verwirrt leicht, denn linkshändige Teilchen mit Masse gibt es nicht! Linkshändigkeit ist keine messbare Quantenzahl bei Teilchen mit Masse. Helizität ist dagegen eine solche messbare Quantenzahl. Jedem Teilchen mit Masse kann man nun immer sowohl ein links- als auch ein rechtshändiges Feld zuordnen, entsprechend den beiden Anteilen im Diracspinor (in der Weyl-Basis). Je größer nun der Teilchenimpuls im Vergleich zur Masse ist, umso mehr hängt jedes dieser Felder von einer der beiden Helizitätskomponenten in der Wellenfunktion ab. Bei rechtshändigen Feldern dominiert immer mehr der Anteil mit positiver Helizität, bei linkshändigen Feldern der Anteil mit negativer Helizität. Wird die Masse Null, so bleibt im jeweiligen Feld nur noch der dominierende Helizitätsanteil übrig.
In der schwachen Wechselwirkung müsste man daher korrekt sagen: Nur linkshändige Felder sind für die schwache Wechselwirkung mit W-Bosonen relevant! Das bedeutet: Je größer ein Teilchenimpuls im Vergleich zur Teilchenmasse ist, umso mehr nimmt ein Teilchen mit negativer Helizität an Prozessen der schwachen Wechselwirkung teil (bei Antiteilchen entsprechend mit positiver Helizität). Teilchen mit großem Teilchenimpuls im Vergleich zur Teilchenmasse werden also durch die schwache Wechselwirkung bevorzugt mit negativer Helizität erzeugt (und umgekehrt bei Antiteilchen). So können die (nahezu) masselosen Neutrinos (fast) nur mit negativer Helizität bzw. Antineutrinos mit positiver Helizität durch die schwache Wechselwirkung erzeugt oder vernichtet werden.
© Jörg Resag, www.joerg-resag.de
last modified on 25 August 2023