Wir haben in Kapitel 11: Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes sehr ausführlich den Begriff der Differentialformen kennengelernt. Zunächst eine kurze Wiederholung:
Differentialformen sind mehrdimensionale Verallgemeinerungen der Co-Tangentialvektoren, d.h. sie sind multilineare Abbildungen, die aus mehreren (sagen wir: p Stück) Tangentialvektoren eine reelle Zahl machen – man spricht dann von p-Formen. Außerdem sind Differentialformen antisymmetrisch beim Vertauschen zweier Tangentialvektoren, ganz analog zum Verhalten von Determinanten bei Spaltenvertauschungen. Daher eignen sie sich sehr gut als Integranden von p-dimensionalen Flächenintegralen. Die Antisymmetrie sorgt (zusammen mit der Linearität) dafür, dass die Integrale nicht von der Flächenparametrisierung abhängen (bis auf das Vorzeichen, was zum Begriff der Orientierung führt).
Bei p Tangentialvektoren und einer (p - 1) - Form \(\omega\) kann man danach fragen, wie sich der Wert der (p - 1) - Form – angewendet auf (p - 1) Tangentialvektoren – in Richtung des p-ten Tangentialvektors ändert. Wenn man diese Änderungsraten antisymmetrisch kombiniert, so gelangt man zu einer neuen p-Form, die man als äußere Ableitung \(d\omega\) der (p - 1) - Form \(\omega\) bezeichnet. Für Integrale führt dies schließlich zum Integralsatz von Stokes, der besagt, dass die Beziehung \[ \int_{G} d\omega = \int_{\partial G} \omega \] gilt (dabei ist \(\partial G\) der Rand des Gebietes \(G\)). Man kann den Integralsatz von Stokes als mehrdimensionale Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ansehen.
Weiter hatten wir eine Veranschaulichung von Differentialformen kennengelernt. Man kann eine p-Form \(\omega\) in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit zumindest lokal durch eine Raumdichte von (n - p) -dimensionalen Flächen darstellen, die wir auch als Höhenlinien bzw. als Blätter bezeichnet hatten.
Wenn wir nun p Tangentialvektoren betrachten, die ein kleines Flächenstück aufspannen, so ist der Wert der Differentialform, ausgewertet auf diesen p Tangentialvektoren, gleich der Dichte der Blätter, die das kleine Flächenstück durchstoßen (mit zusätzlichen Vorzeichen).
Die äußere Ableitung \(d\omega\) ist gleich der Dichte der (n - p - 1) -dimensionalen Quellflächen für dort neu entstehende (n - p) -dimensionale Blätter von \(\omega\).
Damit kann man sich auch den Integralsatz von Stokes veranschaulichen: Jede in \(G\) liegende (n - p - 1) -dimensionale Quellfläche, die ein Blatt von \(d\omega\) darstellt und die demnach zu \( \int_{G} d\omega \) beiträgt, führt zu einem neuen (n - p) -dimensionalen Blatt, das einen nichtverschwindenden Beitrag zu \( \int_{\partial G} \omega \) ergibt, wenn das neu entstandene Blatt den Rand von \(G\) schneidet und damit \(G\) verlässt.
Allerdings muss man mit der Veranschaulichung von Differentialformen durch Flächen oder Blätter vorsichtig sein! Die Veranschaulichung ist oft nur lokal gültig, also in einer infinitesimal kleinen Umgebung eines Punktes. Allgemein können neue Blätter hinzukommen, und die lokalen Flächenstücke müssen sich nicht unbedingt zu globalen Flächen vereinigen lassen Eine ausführliche Begründung für die Veranschaulichung von Differentialformen mit Hilfe von foliations (Zerlegung des Raums in Schichten oder Blätter) und contact structures (Kontaktstrukturen) und damit verbundene mögliche Fehlinterpretationen findet man in den Kapiteln 7.2 und 7.3 von David Bachman: A Geometric Approach to Differential Forms, arXiv:math/0306194 [math.GT].
Soweit unsere Kurz-Wiederholung. Bei einer Metrik gab es noch weitere interessante Aspekte: so konnte man Flächen- und Volumenmaße mit Hilfe der Gram'schen Determinante entwickeln. Eine weitere interessante Möglichkeit, die eine Metrik bietet, wollen wir uns nun anschauen: die Möglichkeit, p-Formen in (n - p) -Formen umzuwandeln (in Basis-unabhängiger Form).
Starten wir mit einer p-Form \(\omega\) in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit Metrik. Diese p-Form können wir lokal durch eine Raumdichte von (n - p) -dimensionalen Flächen (Blättern) darstellen. Wir können nun senkrecht (→ Metrik!) zu jeder dieser Flächen eine p-dimensionale Fläche legen, so dass insgesamt die Dichte dieser p-dimensionalen Flächen in jedem Punkt gleich der Dichte der (n - p) -dimensionalen Flächen ist (Vorzeichenfragen wollen wir dabei vernachlässigen). Auf diese Weise konstruieren wir eine zugehörige (duale) (n - p)-Form, die wir \[ {\star}\omega \] nennen. Dabei bezeichnen wir \( {\star} \) als den Hodge-Stern-Operator.
Schauen wir uns als Beispiel den dreidimensionalen euklidischen Raum \( \mathbb{R}^{3} \) mit Punkten \( \boldsymbol{x} = (x, y, z) \) an. Die Differentialform \[ \omega = dx \] können wir als äußere Ableitung der Funktion \[ \phi(\boldsymbol{x}) = x \] schreiben, d.h. die Höhenflächen von \(\phi\) sind die Blätter von \( dx \). Also wird \( dx \) durch gleichmäßig verteilte zweidimensionale Flächen senkrecht zur x-Achse dargestellt.
Senkrecht dazu können wir gleichmäßig verteilte Parallelen zur x-Achse legen, die die duale Differentialform \[ {\star}dx \] darstellen sollen. Solche Blätter passen zur Differentialform \( dy \wedge dz \).
Die 2-Form \( dx \wedge dy \) wird durch Linien in z-Richtung dargestellt.
Man kann sich die Linien als Schnittlinien der \(dx\)- und \(dy\)-Flächen
vorstellen.
Die 3-Form \( dx \wedge dy \wedge dz \) wird analog
durch gleichmäßig verteilte Punkte dargestellt,
die sich als Schnittpunkte der \(dx\)-, \(dy\)- und \(dz\)-Flächen ergeben.
Wir definieren also
\[
{\star}dx := dy \wedge dz
\]
und analog
\[
{\star}dy := dz \wedge dx
\]
\[
{\star}dz := dx \wedge dy
\]
so dass der Hodge-Sternoperator damit auf der euklidischen Basis definiert ist.
Da wir zusätzlich verlangen, dass er linear sein soll, ist er damit zugleich generell wohldefiniert.
Diese Vorgehensweise können wir auf den n-dimensionalen euklidischen Raum
\( \mathbb{R}^{n} \) verallgemeinern, wobei wir in euklidischen Koordinaten
\( \boldsymbol{x} = (x^{1}, x^{2}, \, ... \, , x^{n}) \)
schreiben. Wir definieren für die Basis-Formen:
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Hodge-Stern-Operator im n-dimensionalen euklidischen Raum:
Im n-dimensionalen euklidischen Raum \(\mathbb{R}^{n}\) mit \( \boldsymbol{x} = (x^{1}, x^{2}, \, ... \, , x^{n}) \) (euklidische Koordinaten) definieren wir: \[ {\star}(dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{p}) := \] \[ := dx^{p + 1} \wedge dx^{p + 2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n} \] und analog für jede Vertauschung (Permutation) der n Indices mit positivem Vorzeichen (Signum der Permutation gleich 1 , d.h. die Permutation entspricht einer gerade Anzahl von paarweisen Index-Vertauschungen; man spricht auch von orientierungserhaltenden Vertauschungen). Die allgemeine Form lautet (siehe z.B. Barner, Flohr: Analysis II, Aufg. 15 zu Kapitel 17.2): \[ {\star}(dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{i_p}) := \] \[ := \epsilon \, dx^{i_{p+1}} \wedge dx^{i_{p+2}} \wedge \, ... \, \wedge dx^{i_n} \] Dabei haben wir die verschiedenen Indices durchnummeriert. Insgesamt sind die Indices \( i_1, i_2, \, ... \, , i_n \) eine Permutation der Zahlen \( 1, 2, \, ... \, , n \), und \( \epsilon \) ist das Signum dieser Permutation. Zusätzlich fordern wir die Bedingung \[ i_{p+1} \lt i_{p+2} \lt \, ... \, \lt i_n \] Wegen der Antisymmetrie kann man daraus auch andere Index-Reihenfolgen erzeugen. Man erkennt weiterhin, dass der Hodge-Stern-Operator punktweise definiert ist, d.h. die obigen Formeln gelten in jedem Punkt \(p\) separat, ohne dass Umgebungen von Punkten gebraucht werden.
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Damit wird aus jeder Basis-p-Form eine Basis- (n - p) -Form.
Da die Zahl der Basis-Formen bei den p-Formen und den (n - p) -Formen gleich groß ist
(wegen der Antisymmetrie), und da der Hodge-Sternoperator linear ist, haben wir so
eine vollständige Definition dieses Operators auf den Differentialformen des \( \mathbb{R}^{n} \)
(dabei setzen wir voraus,
dass die Basisvektoren \( \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \)
orthonormal sind mit der üblichen euklidischen Metrik).
Bleibt die Frage: warum müssen die Koordinaten in der obigen Definition unbedingt euklidisch sein? Wofür braucht man in der Definition die Metrik überhaupt? Die Antwort lautet: Natürlich kann man die obige Definition im Prinzip auch für nicht-euklidische Koordinaten und allgemeiner sogar für Mannigfaltigkeiten ohne Metrik so treffen. Die Definition hängt dann allerdings von den gewählten Koordinaten ab! Im euklidischen Fall (allgemeiner: bei zueinander orthogonalen Koordinaten im betrachteten Punkt) dagegen führt die obige Definition letztlich zu einem Basis- und Koordinaten-unabhängigen Hodge-Stern-Operator. Die entsprechende basisfreie Formulierung werden wir weiter unten noch kennenlernen.
Man kann die obige Definition für euklidische Koordinaten auch noch etwas anders schreiben. Dazu verwenden wir die Orthonormalbasisvektoren \( \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \) und führen die folgende kleine Rechnung durch: \[ ({\star}\omega)_{p + 1, \, ... \, , n} = \] \[ = ({\star}\omega) \left(\frac{\partial}{\partial x^{p + 1}}, \, ... \, , \frac{\partial}{\partial x^{n}}\right) = \] \[ = ( \omega_{1, \, ... \, , p} \, \cdot \, {\star}(dx^{1} \wedge \, ... \, \wedge dx^{p}) + \, ... \,) \] \[ \, \left( \frac{\partial}{\partial x^{p + 1}}, \, ... \, , \frac{\partial}{\partial x^{n}} \right) = \] \[ = ( \omega_{1, \, ... \, , p} \, \cdot \, dx^{p + 1} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n} + \, ... \,) \] \[ (\frac{\partial}{\partial x ^{p + 1}}, \, ... \, , \frac{\partial}{\partial x^{n}}) = \] \[ = \omega_{1, \, ... \, , p} \] (die anderen Terme, die wir durch \( + \, ... \, \) angedeutet haben, fallen jeweils weg). Also haben wir:
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|
Es ist interessant, dass aus der Definition
\[
{\star}(dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{p})
:=
\]
\[ :=
dx^{p + 1} \wedge dx^{p + 2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n}
\]
der folgende Ausdruck folgt:
\[
(dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{p})
\]
\[
\wedge \,
{\star}(dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{p})
=
\]
\[
=
(dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{p})
\]
\[
\wedge \,
(dx^{p + 1} \wedge dx^{p + 2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n})
=
\]
\[
=
dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n} =
\]
\[
=: dV
\]
d.h. es entsteht die Volumenform des \( \mathbb{R}^{n} \) in karthesischen Koordinaten,
die wir mit \( dV \) bezeichnet haben
(dabei ist das \(d\) in \(dV\) nicht der d-Operator,
sondern wir verwenden einfach die in der Physik übliche Schreibweise
für ein Volumenelement).
Durch Permutation der Indices mit positivem Signum
erhält man entsprechende Gleichungen auch für die anderen Basis-Formen.
Dabei ergibt sich (nach entsprechendem Umsortieren) jedesmal die
Volumenform.
Wir wollen versuchen, die obigen Zusammenhänge in einer allgemeineren und Basis-unabhängigen Form zu schreiben. Außerdem wollen wir zu allgemeinen (nichteuklidischen) Mannigfaltigkeiten übergehen. Als Vorbereitung dazu wollen wir uns überlegen, dass eine Metrik auf den Tangentialvektoren auch eine Metrik auf den Differentialformen induziert (siehe auch Greg Egan: The Hodge dual: some definitions & examples).
Erinnern wir uns (siehe Kapitel 9: Abstände und Winkel: die Metrik ): Die Metrik \(g\) ist eine bilineare Abbildung, die zwei Tangentialvektoren \(u\) und \(v\) eine reelle Zahl \(g(u,v)\) zuordnet (den Punkt \(p\), an dem das Ganze ausgewertet wird, lassen wir hier weg). Wegen der Linearität kann man (bezogen auf Basisvektoren \( \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \) ) schreiben: \[ g(u,v) = \sum_{\mu\nu} \, g_{\mu\nu} \, u^{\mu} \, v^{\nu} \] mit \[ g_{\mu\nu} = g\left(\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\right) \] Die Metrik ermöglichte es uns, eine Abbildung zwischen Tangential- und Co-Tangentialvektoren (1-Formen) zu konstruieren. So kann man einer 1-Form \(\omega\) eindeutig einen Tangentialvektor \(v_{\omega}\) zurodnen und umgekehrt einem Tangentialvektor \(v\) eindeutig eine 1-Form \( \omega^{v} \) zuordnen: \[ \omega \, u =: g(v_{\omega}, u) \] \[ \omega^{v} \, u := g(v, u) \] für alle Tangentialvektoren \(u\).
In Komponenten ausgeschrieben bedeutet das für den oberen Fall (der untere geht analog): \[ \omega_{\mu} =: \sum_{\nu} \, g_{\mu\nu} \, v_{\omega}^{\nu} \] Oft schreibt man auch einfach \( \omega^{\nu} \) statt \( v_{\omega}^{\nu} \). Diese Gleichung kann man auch anders schreiben, indem man zur metrischen Matrix (gegeben durch die Matrixelemente \( g_{\mu\nu} \)) die inverse Matrix einführt, deren Matrixelemente man mit \( g^{\mu\nu} \) bezeichnet, d.h. \[ \sum_{\rho} \, g_{\mu\rho} \, g^{ \rho\nu} = \delta_{\mu}^{\,\nu} \] Damit erhält man dann: \[ \sum_{\nu} \, g^{\mu\nu} \, \omega_{\nu} =: v_{\omega}^{\mu} \] Man spricht auch vom Hochziehen des Indexes.
Auf diese Weise kann man aus der Metrik der Tangentialvektoren eine Metrik für die 1-Formen gewinnen. Wir wollen auch sie mit dem Buchstaben \( g \) bezeichnen, um nicht zuviele verschiedene Bezeichnungen einzuführen. Diese auf den 1-Formen induzierte Metrik definieren wir als \[ g(\omega, \alpha) := g(v_{\omega}, v_{\alpha}) \] mit den beiden 1-Formen \(\omega\) und \(\alpha\). In Komponenten ausgeschrieben ergibt das: \[ g(\omega, \alpha) = \sum_{\mu\nu} \, g^{\mu\nu} \, \omega_{\mu} \, \alpha_{\nu} \] (Vorsicht: hier steht die inverse metrische Matrix, wie man an den oben stehenden Indizes erkennt!). Man sieht, wie praktisch die Schreibweise mit dem Hoch- und Runterziehen der Indices ist – daher wird sie von Physikern so geliebt. Hin und wieder muss man sich allerdings daran erinnern, was man eigentlich tut.
Der nächste Schritt besteht darin, von einer Metrik für 1-Formen zu einer Metrik für p-Formen überzugehen.
Betrachten wir dazu zunächst zwei 1-Formen \( \omega^{(1)} \) und \( \omega^{(2)} \). Die Schreibweise mit Klammer soll andeuten, dass es sich um eine Durchnummerierung der 1-Formen handelt, und nicht um Indices von Komponenten. Wir können nun das Tensorprodukt der 1-Formen bilden: \[ \omega^{(1)} \circ \omega^{(2)} \] das definiert ist durch \[ [\omega^{(1)} \circ \omega^{(2)}] (u, v) := (\omega^{(1)} u) \, (\omega^{(2)} v) \] Auf diesem Tensorprodukt können wir nun eine Metrik definieren, die wir wieder mit \(g\) bezeichnen wollen: \[ g \left( \omega^{(1)} \circ \omega^{(2)} , \alpha^{(1)} \circ \alpha^{(2)} \right) := \] \[ := g \left(\omega^{(1)}, \alpha^{(1)} \right) \, g \left(\omega^{(2)}, \alpha^{(2)}\right) \] mit den zusätzlichen 1-Formen \( \alpha^{(1)} \) und \( \alpha^{(2)} \). Rechts steht dabei zweimal die Metrik auf den 1-Formen, die wir oben bereits definiert hatten.
Wir können aus dem Tensorprodukt zweier 1-Formen durch Antisymmetrisieren das Dachprodukt machen und so zu 2-Formen übergehen: \[ \omega^{(1)} \wedge \omega^{(2)} := \omega^{(1)} \circ \omega^{(2)} - \omega^{(2)} \circ \omega^{(1)} \] so dass \[ [\omega^{(1)} \wedge \omega^{(2)}] (u, v) = \] \[ = (\omega^{(1)} u) \, (\omega^{(2)} v) - (\omega^{(2)} u) \, (\omega^{(1)} v) \] ist. Die Metrik auf diesen 2-Formen definieren wir dann in naheliegender Weise durch formales Ausmultiplizieren: \[ g\left( \omega^{(1)} \wedge \omega^{(2)} , \alpha^{(1)} \wedge \alpha^{(2)} \right) = \] \[ = g\big( \omega^{(1)} \circ \omega^{(2)} - \omega^{(2)} \circ \omega^{(1)} , \] \[ \quad \quad \quad \alpha^{(1)} \circ \alpha^{(2)} - \alpha^{(2)} \circ \alpha^{(1)} \big) := \] \[ = g\left(\omega^{(1)}, \alpha^{(1)}\right) \, g\left(\omega^{(2)}, \alpha^{(2)}\right) + \] \[ - g\left(\omega^{(1)}, \alpha^{(2)}\right) \, g\left(\omega^{(2)}, \alpha^{(1)}\right) + \] \[ - g\left(\omega^{(2)}, \alpha^{(1)}\right) \, g\left(\omega^{(1)}, \alpha^{(2)}\right) + \] \[ + g\left(\omega^{(2)}, \alpha^{(2)}\right) \, g\left(\omega^{(1)}, \alpha^{(1)}\right) = \] \[ = \det{ g\left(\omega^{(i)}, \alpha^{(j)}\right) } \] Dabei ist die Determinante der 2-mal-2-Matrix mit Matrixelementen \( g\left(\omega^{(i)}, \alpha^{(j)}\right) \) zu bilden. Für p-Formen ist analog die Determinante der entsprechenden p-mal-p-Matrix zu bilden, d.h. wir definieren:
|
Metrik auf dem p-fachen Dachprodukt von 1-Formen: \[ g( \omega^{(1)} \wedge \, ... \, \wedge \omega^{(p)} \, , \, \alpha^{(1)} \wedge \, ... \, \wedge \alpha^{(p)} ) := \] \[ := \det{ g(\omega^{(i)}, \alpha^{(j)}) } \] |
Dabei passt das Symmetrieverhalten der Determinante zum Symmetrieverhalten des
Dachproduktes \( \wedge \), so dass die Definition Sinn macht.
Nun kann man allerdings nicht jede p-Form als p-faches Dachprodukt aus 1-Formen schreiben.
Aber: Man kann jede p-Form als Linearkombination von solchen p-fachen Dachprodukten
aus 1-Formen schreiben. Da wir natürlich Linearität der Metrik fordern, können wir
so die Metrik von p-Formen auf die Metrik p-facher Dachprodukte aus 1-Formen
zurückführen. Explizite Formeln ersparen wir uns hier, da wir aus ihnen nichts
Neues lernen.
Die Metrik war die erste Zutat für unsere angestrebte allgemeine Formulierung. Die zweite Zutat ist die Volumenform. Im euklidischen \( \mathbb{R}^{n} \) hatten wir sie oben bereits kennengelernt. Den allgemeinen (nichteuklidischen) Fall kennen wir aus Kapitel 11: Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes. Dort hatten wir die Fläche \( A_{\gamma(T)} \) eines p-dimensionalen Flächenstücks \( \gamma(T) \) definiert über \[ A_{\gamma(T)} = \int_{T} dA \] \[ := \int_{T} \, \sqrt{ | \det{ g( u_{i}(\gamma(\boldsymbol{t})), u_{j}(\gamma(\boldsymbol{t})) ) } | } \] \[ \, dt_{1} \, dt_{2} \, ... \, dt_{p} \] Dabei war \(T\) der p-dimensionale reelle Parameterraum, \( \boldsymbol{t} = (t_{1}, \, ... \, , t_{p}) \in T \) war der Parametervektor, \(u_{i}\) sind die Tangentialvektoren in \(t_{i}\)-Richtung (entsprechen also Richtungsableitungen \( \frac{d}{dt_{i}} \) ), und \( \gamma \) war die Parametrisierungsfunktion des Flächenstücks, d.h. \( \gamma \) bildet den Parameterraum \(T\) eindeutig auf das Flächenstück ab. Im Unterschied zu Kapitel 11 haben wir hier noch Betragsstriche hinzugefügt, um auch den Fall negativer Determinante mit zu erfassen (wichtig, falls die Metrik nicht positiv definit ist).
Ein Spezialfall ergibt sich, wenn wir \( p = n \) setzen, d.h. die Dimension des Flächenstücks entspricht der Dimension der Mannigfaltigkeit. Der Flächeninhalt entspricht dann anschaulich einem p-dimensionalen Volumeninhalt von einem Teilvolumen der Mannigfaltigkeit. Wegen \( p = n \) können wir die Parameter \( t_{i} \) als Koordinaten \( x^{i} \) der Mannigfaltigkeit betrachten, d.h. \( \gamma^{- 1} \) ist eine Koordinatenfunktion (Karte) auf dem betrachteten Teilvolumen der Mannigfaltigkeit. Die Koordinaten dürfen dabei auch krummlinig sein, denn wir betrachten ja jetzt nicht mehr nur den euklidischen Raum.
Da das obige Integral unabhängig von der konkreten Parametrisierungsfunktion ist (Beweis analog zum entsprechenden Beweis bei Differentialformen in Kapitel 11), ist es umgekehrt auch koordinatenunabhängig. Es spricht also nichts dagegen, \( t_{i} = x^{i} \) zu wählen. Aus den Tangentialvektoren \( u_{i} \) werden dann die Basisvektoren \( \frac{\partial}{\partial x^i} \), und aus \( g(u_{i}, u_{j}) \) wird \[ g \left(\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}\right) = g_{ij} \] Aus Gründen der Gewohnheit wollen wir statt dessen wieder \( g_{\mu\nu} \) schreiben. Das Volumenintegral lautet also: \[ V_{\gamma(T)} = \int_{T} dV = \] \[ := \int_{T} \, \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu} }| } \, dx^{1} \, dx^{2} \, ... \, dx^{n} \] Dabei ist die Determinante der metrischen Matrix immer am jeweiligen Punkt \( \gamma(\boldsymbol{x}) \) auszuwerten! Das Integral rechts kann man wiederum als Integral über die n-Form \[ dV := \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu} }| } \, dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n} \] schreiben, denn nach Definition des Integrals über Differentialformen gilt für die spezielle Parametrisierung \boldsymbol{t} = \boldsymbol{x} die Beziehung \[ \int_{T} dV = \] \[ = \int_{T} \, dt_{1} \, dt_{2} \, ... \, dt_{n} \, \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu}(\gamma(\boldsymbol{t})) }| } \] \[ \left[dx^{1} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n}\right] \left(u_{1}(\gamma(\boldsymbol{t}), \, ... \, , u_{n}(\gamma(\boldsymbol{t}) \right) \, = \] \[ = \int_{T} \, dx^{1} dx^{2} \, ... \, dx^{n} \, \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu}(\gamma(\boldsymbol{x})) }| } \] \[ \left[ dx^{1} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n} \right] \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \, ... \, , \frac{\partial}{\partial x^n} \right) \, = \] \[ = \int_{T} \, \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu} }| } \, dx^{1} \, dx^{2} \, ... \, dx^{n} \] (da die Wahl der Parametrisierung egal ist, dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit so vorgehen). Halten wir fest:
|
Volumenform auf n-dimensionalen (ggf. nicht-euklidischen) Mannigfaltigkeiten: Die Volumenform \(dV\) ist auf n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten \(M\) (mit Metrik) in Koordinaten gegeben durch \[ dV := \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu} }| } \, dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n} \] Das Integral \[ V_{\gamma(T)} = \int_{T} dV = \] \[ = \int_{T} \, \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu} }| } \, dx^{1} \, dx^{2} \, ... \, dx^{n} \] definiert den Volumeninhalt der Menge \( \gamma(T) \) (die natürlich hinreichend gutartig sein muss), in Analogie zur Definition des Flächeninhalts aus Kapitel 11 . Dabei ist \(\gamma\) eine Abbildung des n-dimensionalen reellen Parameterbereichs \(T\) nach\( M \). Man kann Beispielsweise die Koordinatenfunktion f einfach gleich \gamma^{- 1} wählen. Insgesamt ist das Volumenintegral unabhängig von der Parametrisierung und der Koordinatenwahl. Der Vorfaktor \[ \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu} }| } \] berücksichtigt, dass bei der Parametrisierungsabbildung \(\gamma\) das Volumenelement \( dx^{1} \, dx^{2} \, ... \, dx^{n} \) des Parameterraums verzerrt und dabei vergrößert oder verkleinert werden kann (man denke an krummlinige Koordinaten). Bitte beachten: Der Vorfaktor \( \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu} }| } \) ist vom Transformationsverhalten her keine skalare Funktion, sondern der Koeffizient einer n-Form. Bei Koordinatentransformationen tritt als Umrechnungsfaktor die Jacobi-Determinante des Koordinatenwechsels auf – deshalb ist das Integral über \(dV\) auch koordinaten-invariant! Eine solche Größe bezeichnet man in der physikalischen Literatur auch oft als Dichte.
|
Wer möchte, kann diese Definition beispielsweise im dreidimensionalen Raum in
Kugelkoordinaten
\[
x^{1} = r
\]
\[
x^{2} = \theta
\]
\[
x^{3} = \varphi
\]
einmal ausprobieren (alle Winkel angegeben in
Bogenmaß).
Die Determinante der Metrik ergibt gerade den passenden Gewichtsfaktor
\[
r^{2} \, \sin{\theta}
\]
so dass
im Integrand der wohlbekannte Term
\[
r^{2} \, \sin{\theta} \, dr \, d\theta \, d\varphi
\]
entsteht,
den man auch anschaulich als kleines Volumenelement in Kugelkoordinaten
verstehen kann.
Damit haben wir nun alle Zutaten für eine allgemeine Definition des Hodge-Stern-Operators zusammen. Wir definieren nun:
|
Hodge-Stern-Operator auf (auch nicht-euklidischen) Mannigfaltigkeiten: Auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten \(M\) (mit Metrik) definieren wir den Hodge-Stern-Operator \( {\star} \) als eine lineare Abbildung von den p-Formen in die (n - p) -Formen, die zusätzlich die Bedingung \[ \alpha \wedge ({\star}\omega) := g(\alpha, \omega) \, dV \] erfüllt. Dabei sind \( \alpha \) und \( \omega \) beides p-Formen, \(dV\) ist die Volumenform, und \( g(\alpha, \omega) \) ist die Metrik zwischen den p-Formen. |
Anmerkung: In manchen Texten (for allem in der physikalischen Literatur) ist die
obige Formel zur Definition des
Hodge-Stern-Operators in Tensor-Komponentenschreibweise angegeben,
d.h. man schreibt die obige Formel explizit in Komponenten aus.
Dabei tritt
der antisymmetrische Levi-Civita-Tensor auf,
multipliziert mit
\[
\sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu} }| }
\]
Der Zusammenhang mit unserer Formel wird sichtbar, wenn man sich klar macht,
dass der Levi-Civita-Tensor gerade dem Term
\[
dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n}
\]
angewendet auf die Basisvektoren
\[
\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, \frac{\partial}{\partial x^{\rho}}, \, ... \,
\]
entspricht. Wir gehen hier nicht näher darauf ein.
Für eine p-Form \( \omega \) mit \[ g(\omega, \omega) = 1 \] ergibt sich nach unserer Formel nun \[ \omega \wedge ({\star}\omega) = dV \] d.h. anschaulich wird das Volumenelement gleichsam in zwei Teile aufgeteilt.
Veranschaulichen wir uns diesen Vorgang im dreidimensionalen Raum: Die Volumenform \(dV\) wird hier durch eine Wolke aus gleichmäßig verteilten Punkten dargestellt, z.B. an den Gitterpunkten eines Würfelgitters. Die Zahl der Punkte in einem Raumbereich entspricht dann dem Volumen dieses Bereichs.
Wir wollen nun diese Volumenform in eine 2-Form \( \omega \) und die zugehörige duale 1-Form \( {\star}\omega \) aufteilen, wobei \( g(\omega, \omega) = 1 \) und \( \omega \wedge ({\star}\omega) = dV \) sein soll.
Das können wir dadurch tun, dass wir die Punkte der Volumenform als Schnittpunkte zweidimensionaler Flächen (entsprechend einer 1-Form) mit dazu senkrecht stehenden eindimensionalen Geraden (entsprechend der zur 1-Form dualen 2-Form) darstellen. Eine ähnliche Darstellung haben wir weiter oben bereits gesehen – allerdings wurde die 2-Form dort durch viereckige Schläuche und die Volumenform durch ein dreidimensionales Gitter dargestellt.
Für eine euklidische Metrik haben wir die Beziehung \[ \alpha \wedge ({\star}\omega) := g(\alpha, \omega) \, dV \] für eine spezielle Basis-Form weiter oben bereits kennengelernt: \[ (dx^{1} \wedge \, ... \, \wedge dx^{p}) \, \wedge \, {\star}(dx^{1} \wedge \, ... \, \wedge dx^{p}) = \] \[= dx^{1} \wedge \, ... \, \wedge dx^{n} = dV \] Auf diese Weise kann man die von oben bekannten Formeln für den euklidischen Fall aus der neuen verallgemeinerten Definition zurückgewinnen.
Die neue verallgemeinerte Definition kann man aber über den euklidischen Fall hinaus verwenden, beispielsweise auch bei einer nicht-positiv-definiten Metrik wie in der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie. Die Metrik der p-Formen führt hier ggf. zu weiteren Vorzeichen. Die allgemeine Formel für \[ {\star}(dx^{i_1} \wedge \, ... \, \wedge dx^{i_p}) \] im nicht-euklidischen Fall findet man beispielsweise bei PlanetMath.org: Hodge star operator. Sie lautet:
Dabei ist \( |g| = |\det{ g_{\mu\nu} }| \) die Determinante der metrischen Matrix, und \(\epsilon\) ist das Signum der durch die Indices angegebenen Permutation.
Aus der Vektor-Analysis kennt man den Gradienten einer skalaren Funktion und die Divergenz eines Vektorfeldes. Beide Begriffe können wir mit Hilfe der Metrik und des Hodge-Stern-Operators in koordinatenfreier Weise auf Differentialformen und deren äußere Ableitung zurückführen.
Für den Gradienten kennen wir dies bereits aus Kapitel 11: Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes und Kapitel 9: Abstände und Winkel: die Metrik. Kurze Wiederholung:
|
Gradient:
Der Gradient einer skalaren Funktion \(\varphi\) ist ein Vektorfeld, das für beliebige Vektorfelder \(u\) die folgende Bedingung erfüllt: \[ g( \mathrm{grad} \, \varphi, u) = d\varphi \, u \] |
Oben hatten wir die Schreibweise \( v_{\omega} \) über die Beziehung
\[
\omega \, u =: g(v_{\omega}, u)
\]
eingeführt, d.h. die Komponenten des Vektorfeldes \( v_{\omega} \)
entstehen aus den Komponenten von \( \omega \) durch Hochziehen des Indexes über die
inverse metrische Matrix (siehe oben). In dieser Schreibweise wäre dann
\[
\mathrm{grad} \, \varphi = v_{d\varphi}
\]
oder in Komponenten
\[
(\mathrm{grad} \, \varphi)^{\mu} =
\]
\[ = \sum_{\nu} \,
g^{\mu\nu} \, (d\varphi)_{\nu} =
\]
\[
= \sum_{\nu} \,
g^{\mu\nu} \, \frac{\partial \varphi}{\partial x^{\nu}}
\]
Auf diese Weise konnten wir Wegintegrale über eine 1-Form \( d\varphi \)
in die Schreibweise überführen, wie sie in der Vektoranalysis und der
Physik geläufig ist
(Details siehe
Kapitel 11: Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes):
\[
\int_{T} d\varphi =
\int_{T} (d\varphi \, u) \, dt =
\]
\[ =
\int_{T} g( \mathrm{grad} \, \varphi , u) \, dt =:
\]
\[ =:
\int_{T} g( \mathrm{grad} \, \varphi , dx)
\]
In diesem Sinn kann man dann auch den Ausdruck
\[
g( \mathrm{grad} \, \varphi, dx)
\]
als 1-Form interpretieren. Im euklidischen Fall schreiben wir die 1-Form \(d\varphi\) daher auch als
formales euklidisches Skalarprodukt
\[
d\varphi =
\langle
\mathrm{grad} \, \varphi , \boldsymbol{dx}
\rangle
\]
Soviel zum Gradienten – das kannten wir alles schon.
Die Metrik und der damit definierte Hodge-Stern-Operator
ermöglichen es uns nun weiter, auch die Divergenz eines Vektorfeldes
in die Schreibweise der Differentialformen zu übersetzen.
Das hat – wie schon beim Gradienten – den Vorteil, dass die Definition
koordinatenunabhängig erfolgt und sich auch in gekrümmten
Räumen anwenden lässt (in der Vektoranalysis und in der Physik geht man meist
von euklidischen Koordinaten aus und steht dann vor dem Problem, wie man die Divergenz
beispielsweise in Kugelkoordinaten übersetzen soll).
Ich möchte Sie hier nicht weiter auf die Folter spannen (irgendwo muss man schließlich anfangen): hier ist also die koordinatenunabhängige Definition der Divergenz (siehe z.B. Dirk Ferus: Analysis III):
|
Divergenz:
Die Divergenz eines Vektorfeldes \(v\) ist eine skalare Funktion \( \mathrm{div} \, v \), die wie folgt definiert ist: \[ \mathrm{div} \, v = (- 1)^{s} \, {\star} d {\star} \omega^{v} \] Dabei ist \(s\) die Signatur (der Index) der Metrik (also die Zahl der negativen Eigenwerte der metrischen Matrix), und \( \omega^{v} \) ist die 1-Form, die dem Vektorfeld \(v\) über die Metrik zugeordnet ist: \[ \omega^{v} \, u := g(v,u) \] für beliebige \(u\).
|
Die Formel ist zunächst etwas unübersichtlich. Wir wollen daher schrittweise
versuchen, sie zu verstehen und mit bekannten Aspekten der Divergenz
in Beziehung zu bringen:
Wir starten mit einem Vektorfeld \(v\), dessen Divergenz wir bestimmen wollen. Dazu machen wir aus dem Vektorfeld zunächst mit Hilfe der Metrik durch Herunterziehen der Indices die zugehörige 1-Form \( \omega^{v} \), d.h. \[ \omega^{v} \, u = g(v,u) \] Diese 1-Form können wir uns durch (n - 1) -dimensionale Flächen veranschaulichen. Der Wert von \( \omega^{v} \, u \) entspricht der Anzahl der Flächen, die \(u\) durchstößt.
Diese Anzahl ist nach Definition auch gleich \( g(v,u) \). Wir können uns daher im euklidischen Fall den Vektor \(v\) auch als Normalenvektor zu den \( \omega^{v} \)-Flächen vorstellen, dessen Länge die Dichte der Flächen in \(v\)-Richtung ergibt. Die Projektion von \(u\) auf diesen Normalenvektor ergibt dann die Dichte der Flächen in \(u\)-Richtung.
Ein Beispiel:
Im euklidischen \( \mathbb{R}^{3} \) betrachten wir in karthesischen Koordinaten
das Vektorfeld
\[
\boldsymbol{E} = E^{1} \frac{\partial}{\partial x^{1}} +
E^{2} \frac{\partial}{\partial x^{2}} + E^{3} \frac{\partial}{\partial x^{3}}
\]
Physiker können sich hier beispielsweise ein statisches elektrisches Feld vorstellen.
Die zugehörige 1-Form (die wir zur Vereinfachung \( E \) nennen, also ohne Fettdruck) lautet dann
\[
E := \omega^{\boldsymbol{E}} =
E_{1} \, dx^{1} + E_{1} \, dx^{2} + E_{1} \, dx^{3}
\]
mit
\[
E_{i} = E^{i}
\]
wegen der euklidischen Metrik und den
karthesischen Koordinaten. Wir schreiben auch formal \(E\) als
euklidisches Skalarprodukt
\[
E =:
\langle
\boldsymbol{E}, \boldsymbol{dx}
\rangle
\]
(diese Schreibweise ist in der Physik recht beliebt;
im Kurvenintegral über \(E\) wird \(\boldsymbol{dx}\)
zum Linienelement-Vektor).
Aus der 1-Form \( \omega^{v} \) machen wir nun über den Hodge-Stern-Operator die (n - 1) -Form \[ {\star} \omega^{v} \] Diese 1-Form wird durch 1-dimensionale Linien (auch Flusslinien oder Flussröhren genannt) dargestellt, die im euklidischen Fall senkrecht zu den \(\omega^{v}\)-Flächen liegen. Damit liegen sie (zumindest bei euklidischer Metrik) anschaulich parallel zu den ursprünglichen \(v\)-Vektoren.
Wir haben also das \(v\)-Vektorfeld durch die Konstruktion \( {\star} \omega^{v} \) in das Flusslinienfeld einer (n - 1) -Form verwandelt.
Das Flächenintergal dieser Form über eine (n - 1) -dimensionale Fläche entspricht der Zahl der Flusslinien durch die Fläche. Wir wollen daher \( {\star} \omega^{v} \) auch als Flussform bezeichnen.
Manchmal spricht man auch davon, dass man diese Flussform durch Kontraktion des Vektorfeldes \(v\) mit der Volumenform \(dV\) erhält.
In unserem dreidimensionalen euklidischen Beispiel ist dann \[ {\star}E = \] \[ = E_{1} \, dx^{2} \wedge dx^{3} + \] \[ + E_{2} \, dx^{3} \wedge dx^{1} + \] \[ + E_{3} \, dx^{1} \wedge dx^{2} = \] \[ =: \langle \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dA} \rangle \] (um wieder die Physiker-Schreibweise zu erwähnen; im Flächenintegral über \( {\star}E \) wird \( \boldsymbol{dA} \) zum Normalenvektor eines Flächenelements).
Der nächste Schritt besteht darin, den d-Operator auf diese Flussform anzuwenden. Auf diese Weise ermitteln wir die Entstehungsdichte für die Flusslinien (siehe die Interpretation des d-Operators in Kapitel 11: Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes). Diese Entstehungsdichte \[ d {\star} \omega^{v} \] ist eine n-Form analog zur Volumenform \(dV\). Die Punktwolke, die diese n-Form darstellt, besteht gerade aus den Entstehungspunkten der Flusslinien. Der Integralsatz von Stokes besagt nun \[ \int_{T} d {\star} \omega^{v} = \int_{\partial T} \, {\star} \omega^{v} \] d.h. der Fluss gemäß der Flussform \( {\star} \omega^{v} \) durch den Rand eines Gebietes entspricht der Anzahl der im Gebiet entstandenen Flusslinien. Genau solche Aussagen und Interpretationen kennt man für die Divergenz aus der Vektoranalysis: \[ \int_{T} (\mathrm{div} \, v) \, dV = \int_{\partial T} \, g(v,dA) \] Hier entspricht \( \mathrm{div} \, v \) der Quelldichte für das Fektorfeld \(v\), und \( g(v,dA) \) ist der Fluss von \(v\) durch das Flächenelement \(dA\).
Wie man sieht, entspricht die Flussform \( {\star} \omega^{v} \) dem Objekt \( g(v,dA) \), bei dem \(dA\) eine Art Normalenvektor zum Flächenelement darstellt. Letztlich müsste man sogar \[ {\star} \omega^{v} =: g(v,dA) \] definieren, um dem Ausdruck \( g(v,dA) \) in beliebiger Metrik einen Sinn zu geben.
Analog definieren wir
| Divergenz (gleichwertige Definition): \[ d {\star} \omega^{v} =: (\mathrm{div} \, v) \, dV \] |
so dass sich auch für die linke Seite die aus der Vektoranalysis gewohnte Schreibweise ergibt.
Betrachten wir zur Veranschaulichung wieder unser dreidimensionales euklidisches Beispiel: Es ist \[ d{\star}E = \] \[ \left( \frac{\partial E_{1}}{\partial dx^{1}} + \frac{\partial E_{1}}{\partial dx^{2}} + \frac{\partial E_{1}}{\partial dx^{3}} \right) \] \[ dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge dx^{3} \] oder in Kurzform \[ d \langle \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dA} \rangle = (\mathrm{div} \, \boldsymbol{E}) \, dV \] so dass der Satz von Stokes die in der Physik übliche Form annimmt: \[ \int_{T} (\mathrm{div} \, \boldsymbol{E}) \, dV = \int_{\partial T} \langle \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dA} \rangle \] Mit unserer obigen Definition der Divergenz haben wir jedoch (anders als in der euklidischen Physiker-Schreibweise) eine Formulierung in der Hand, die auch auf höherdimensionale gekrümmte Räume in krummlinigen Koordinaten sogar bei nicht-positiv definiter Metrik (Relativitätstheorie!) sofort anwendbar ist! Und auch im dreidimensionalen Raum können wir so direkt die Divergenz beispielsweise in Kugelkoordinaten hinschreiben!
Überprüfen wir noch, dass sich aus dieser Definition die oben bereits erwähnte Definition ergibt. Dazu wenden wir den Sternoperator auf die neue Definition \[ d {\star} \omega^{v} =: (\mathrm{div} \, v) \, dV \] an: \[ {\star} d {\star} \omega^{v} = {\star} [(\mathrm{div} \, v) \, dV] = (\mathrm{div} \, v) \, {\star}dV \] Nun müssen wir noch \( {\star}dV \) ausrechnen. Dazu setzen wir in \[ \alpha \wedge ({\star}\omega) := g(\alpha, \omega) \, dV \] für \(\alpha\) und \(\omega\) die Volumenform \(dV\) ein: \[ dV \wedge ({\star}dV) = g(dV, dV) \, dV \] Nun ist \[ g(dV, dV) = \] \[ = g \bigg( \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu} }| } \, dx_{1} \wedge \, ... \, \wedge dx_{n} \, , \] \[ \, \sqrt{ |\det{ g_{\mu\nu} }| } \, dx_{1} \wedge \, ... \, \wedge dx_{n} \bigg) = \] \[ = |\det{ g_{\mu\nu} }| \cdot \] \[ \cdot g \left( dx_{1} \wedge \, ... \, \wedge dx_{n} \, , \, dx_{1} \wedge \, ... \, \wedge dx_{n} \right) = \] \[ = |\det{ g_{\mu\nu} }| \, \det{ g^{\rho \sigma} } = \] \[ = (- 1)^{s} \] da die Matrix \( ( g_{\mu\nu} ) \) invers zur Matrix \( ( g^{\rho \sigma} ) \) ist. Dabei ist \(s\) gerade so definiert, dass \( (- 1)^{s} \) das Vorzeichen der Determinante der metrischen Matrix ergibt. Diagonalisiert man die metrische Matrix, so ist die Determinante gleich dem Produkt der Eigenwerte dieser Matrix. Das Vorzeichen der Determinante ist damit gleich \( (- 1)^{s} \), wobei \(s\) die Anzahl der negativen Eigenwerte ist. Gerade so hatten wir weiter oben \(s\) auch definiert.
Wir setzen dieses Ergebnis nun oben ein und erhalten: \[ dV \wedge ({\star}dV) = (- 1)^{s} \, dV \] Da \( {\star}dV \) eine Null-Form ist (also eine skalare Funktion), wird aus dem Dachprodukt links ein normales Produkt. Vergleichen wir beide Seiten, so erhalten wir \[ ({\star}dV) = (- 1)^{s} \] Das können wir nun in unsere obige Gleichung \[ {\star} d {\star} \omega^{v} = {\star} [(\mathrm{div} \, v) \, dV] = (\mathrm{div} \, v) \, {\star}dV \] einsetzen: \[ {\star} d {\star} \omega^{v} = {\star} [(\mathrm{div} \, v) \, dV] = (\mathrm{div} \, v) \, (- 1)^{s} \] Nach \( \mathrm{div} \, v \) freigestellt erhalten wir so unsere erste Definition der Divergenz zurück.
Wir wollen uns noch zwei Spezialitäten des dreidimensionalen Raums und ihre Formulierung über Differentialformen und den Hodge-Operator ansehen: das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) und die Rotation.
Beginnen wir mit dem Kreuzprodukt:
Das Kreuzprodukt \[ \boldsymbol{w} := \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \] zweier Vektoren \( \boldsymbol{u} \) und \( \boldsymbol{v} \) im dreidimensionalen euklidischen Raum ist so definiert, dass die Länge von \( \boldsymbol{w} \) gleich der Fläche des von \( \boldsymbol{u} \) und \( \boldsymbol{v} \) aufgespannten Parallelogramms ist, und dass \( \boldsymbol{w} \) senkrecht auf \( \boldsymbol{u} \) und \( \boldsymbol{v} \) steht.
Die Richtung von \( \boldsymbol{w} \) ist so festgelegt, dass die Orientierung von \( \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\) und \( \boldsymbol{w} \) dieselbe ist wie die Orientierung der drei karthesischen Standard-Basisvektoren (Rechte-Hand-Regel). In karthesischen Koordinaten bedeutet das, dass die Matrix mit den drei Spaltenvektoren \( (\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) \) eine positive Determinante besitzt (siehe z.B. Wikipedia: Kreuzprodukt).
In karthesischen Koordinaten kann man eine einfache Formel zur Berechnung
der Komponenten des Kreuzproduktes
\( \boldsymbol{w} := \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \) angeben:
\[
w^{\mu} = \sum_{\nu\rho}
\, \epsilon^{\mu\nu\rho} \, u^{\nu} \, v^{\rho}
\]
mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol
\[
\epsilon^{\mu\nu\rho} = \mathrm{sign}(\mu\nu\rho)
\]
(also das Signum der Permutation von \( (1, 2, 3) \)
nach \( (\mu, \nu, \rho) \).
Die Indizes laufen von 1 bis 3 (wir betrachten ja momentan nur den dreidimensionalen Raum).
Wie können wir diese Konstruktion nun mit Hilfe von Differentialformen formulieren? Als ersten Schritt konstruieren wir dazu wieder mit Hilfe der Metrik (durch Herunterziehen der Indizes) die zu den Vektoren zugehörigen 1-Formen \(\omega^{u}, \omega^{v}\) und \(\omega^{w}\) und bilden analog zum antisymmetrischen Kreuzprodukt nun das antisymmetrische Dachprodukt \[ \omega^{u} \wedge \omega^{v} \] Dieses Dachprodukt wird anschaulich durch die Schnittlinien der \( \omega^{u} \)-Flächen mit den \( \omega^{v} \)-Flächen dargestellt (diese Flächen stehen jeweils senkrecht auf den Vektoren \(\boldsymbol{u}\) und \(\boldsymbol{v}\)).
Man kann sich überlegen, dass sich die Dichte dieser Schnittlinien proportional zur der Fläche des von \(\boldsymbol{u}\) und \(\boldsymbol{v}\) aufgespannten Parallelogramms verhält, und dass die Schnittlinien senkrecht zu \(\boldsymbol{u}\) und \(\boldsymbol{v}\) liegen.
Mit Hilfe des Hodge-Stern-Operators können wir nun aus den Schnittlinien die dazu senkrechten Flächen der 1-Form \[ {\star} (\omega^{u} \wedge \omega^{v}) \] gewinnen. Der zugehörige Vektor steht senkrecht auf diesen Flächen, liegt also parallel zu den Schnittlinien und ist damit senkrecht zu \(\boldsymbol{u}\) und \(\boldsymbol{v}\).
Seine Länge ist proportional zur Schnittliniendichte und damit proportional zur \(\boldsymbol{u}\) - \(\boldsymbol{v}\) -Parallelogrammfläche, so wie es das Vektorprodukt verlangt.
Man könnte also \( \omega^{u \times v} \) zumindest proportional zu \( {\star} (\omega^{u} \wedge \omega^{v}) \) definieren. Wenn man noch einmal den Hodge-Operator anwendet, so findet man durch explizites Ausrechnen (das wir uns hier ersparen wollen), dass die folgende Definition die korrekte Wahl ist:
| Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum: \[ {\star}\omega^{u \times v} := \omega^{u} \wedge \omega^{v} \] |
Diese Formel kann nur im dreidimensionalen Raum funktionieren, denn
die rechte Seite ist das Dachprodukt zweier 1-Formen, also eine 2-Form,
und die linke Seite ist der Hodge-Operator, angewendet auf eine 1-Form, also eine (n - 1) -Form.
Nur für n = 3 ist eine (n - 1) -Form eine 2-Form!
Anmerkung:
Man kann das Kreuzprodukt auf den n-dimensionalen Fall verallgemeinern (siehe z.B. Wikipedia: Kreuzprodukt). Nehmen wir als Beispiel den vierdimensionalen Fall in karthesischen Koordinaten: \[ (\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w})^{\mu} := \sum_{\nu\rho\sigma} \, \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \, u^{\nu} \, v^{\rho} \, v^{\sigma} \] mit dem Levi-Civita-Symbol \[ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} = \mathrm{sign}(\mu\nu\rho\sigma) \] Für Differentialformen lautet die entsprechende Formel dann \[ {\star}\omega^{u \times v \times w} := \omega^{u} \wedge \omega^{v} \wedge \omega^{w} \] Rechts steht eine 3-Form, und links eine (n - 1) -Form, also für n = 4 auch eine 3-Form. Das macht deutlich, warum man für das Kreuzprodukt im n-dimensionalen Raum immer (n - 1) Vektoren benötigt.
Kommen wir zur Rotation im dreidimensionalen Fall. In karthesischen Koordinaten wird die Rotation eines Vektorfeldes gerne formal als Kreuzprodukt geschrieben: \[ (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{v})^{\mu} = (\nabla \times \boldsymbol{v})^{\mu} = \sum_{\nu\rho} \, \epsilon^{\mu\nu\rho} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} v^{\rho} \] Dabei sind in karthesischen Koordinaten in euklidischer Metrik die Komponenten von \( \nabla \) definiert als \[ \nabla^{\mu} = \nabla_{\mu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \] Versuchen wir, die Formel \[ {\star}\omega^{u \times v} := \omega^{u} \wedge \omega^{v} \] formal entsprechend zu übersetzen: \[ {\star}\omega^{\nabla \times v} := \omega^{\nabla} \wedge \omega^{v} = d\omega^{v} \] Den letzten Schritt sieht man sofort, wenn man die Ausdrücke in Komponenten entwickelt. Unser Ergebnis lautet also:
| Rotation im dreidimensionalen Raum: \[ d\omega^{v} = {\star}\omega^{\mathrm{rot} \, v} \] |
Anschaulich bedeutet das:
\(d\omega^{v}\) wird durch die Entstehungskanten der \(\omega^{v}\) -Flächen (die senkrecht zu \(\boldsymbol{v}\) stehen) dargestellt. Diese Entstehungskanten bilden die Flussform des Vektorfeldes \( \mathrm{rot} \, \boldsymbol{v} \) (siehe rechte Seite).
Schauen wir uns diesen Zusammenhang noch einmal an unserer Beispiel-1-Form
\[
E := \omega^{E} =
\langle
\boldsymbol{E}, \boldsymbol{dx}
\rangle
\]
von oben an.
Die Flussform \( {\star}\omega^{\mathrm{rot} \, E} \) schreiben wir analog zu oben dann
als
\[
\langle
\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dA}
\rangle
\]
In dieser Schreibweise wird aus
\( d\omega^{E} = {\star}\omega^{\mathrm{rot} \, E} \)
die Formel
\[
d \langle
\boldsymbol{E}, \boldsymbol{dx}
\rangle
=
\langle
\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dA}
\rangle
\]
so dass der Satz von Stokes wieder die in der Physik übliche Form annimmt:
\[
\int_{T}
\langle
\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dA}
\rangle
=
\int_{\partial T}
\langle
\boldsymbol{E}, \boldsymbol{dx}
\rangle
\]
Dabei wird links über eine zweidimensionale Fläche
integriert, rechts dagegen über den Rand der Fläche.
Fassen wir noch einmal zum Schluss unsere Ergebnisse in möglichst einheitlicher Schreibweise zusammen, wobei wir jeweils die Schreibweise aus der dreidimensionalen euklidischen Vektoranalysis in einer zweiten Zeile beifügen:
| Gradient: \[ d\varphi =: \omega^{\mathrm{grad} \, \varphi} \] \[ d\varphi = \langle \mathrm{grad} \, \varphi, \boldsymbol{dx} \rangle \] Divergenz: \[ d {\star} \omega^{v} =: (\mathrm{div} \, v) \, dV \] \[ d \langle \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dA} \rangle = (\mathrm{div} \, \boldsymbol{E}) \, dV \] Rotation im dreidimensionalen Raum: \[ d\omega^{v} =: {\star}\omega^{\mathrm{rot} \, v} \] \[ d \langle \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dx} \rangle = \langle \mathrm{rot} \, \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dA} \rangle \] |
Der Hodge-Stern-Operator macht aus einer p-Form eine (n - p) -Form. In Räumen mit geradzahliger Dimension n gibt es daher eine Besonderheit: n/2 -Formen werden auf n/2 -Formen abgebildet. So auch im vierdimensionalen Raum: 2-Formen werden auf 2-Formen abgebildet. Man sagt, der Hodge-Stern-Operator ist ein Endomorphismus im Vektorraum der 2-Formen. Man kann daher (wie immer bei Vektorräumen) nach Eigenwerten und Eigenvektoren (Eigen-Formen) des Hodge-Stern-Operators fragen.
Nun hat der Hodge-Stern-Operator die folgende generelle Eigenschaft: bei zweifacher Anwendung wird im n-dimensionalen Raum aus einer p-Form wieder dieselbe p-Form, allerdings eventuell mit einem Vorzeichenwechsel. Man kann nachrechnen, dass dieses Vorzeichen so aussieht: \[ {\star}{\star}\omega = (- 1)^{p (n - p) + s} \, \omega \] (siehe z.B. Wikipedia: Hodge star operator). Dabei ist \(s\) wieder die Signatur der Metrik, also die Zahl der negativen Eigenwerte der metrischen Matrix bzw. das Vorzeichen der Determinante dieser Matrix (siehe oben).
Betrachten wir zunächst den Fall vierdimensionaler Räume mit positiv definiter Metrik, also \( s = 0 \). Solche Räume heißen auch Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Bei 2-Formen gilt dann: \[ {\star}{\star}\omega = \omega \] Wenn nun \( \omega \) eine Eigenform des Hodge-Stern-Operators mit reellem Eigenwert \( \lambda \) ist, also \[ {\star}\omega = \lambda \omega \] so folgt aus \( {\star}{\star}\omega = \omega \) für den reellen Eigenwert \( \lambda \) die Gleichung \( \lambda^{2} = 1 \) und somit \[ \lambda = \pm 1 \] Wir haben also zwei Sorten von Eigenformen in vierdimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten:
Eine beliebige 2-Form \( \omega \) kann man nun immer als Summe einer selbstdualen und einer anti-selbstdualen 2-Form darstellen (so wie man eine Matrix immer als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix schreiben kann): \[ \omega = \frac{1}{2} (\omega + {\star}\omega) + \frac{1}{2} (\omega - {\star}\omega) \] Diese Konstruktion funktioniert nur, wenn \( {\star}{\star}\omega = \omega \) ist!
Man kann weiter zeigen, dass \( g(\alpha, \omega) \) mit einer selbstdualen 2-Form \( \alpha \) und einer anti-selbstdualen 2-Form \( \omega \) gleich Null ist, d.h. selbstduale und anti-selbstduale 2-Formen sind in diesem Sinn senkrecht zueinander. Der 6-dimensionale Raum der 2-Formen lässt sich also als direkte Summe aus einem dreidimensionalen selbstdualen und einem dreidimensionalen anti-selbstdualen Unterraum zusammensetzen.
Wie sieht es nun bei vierdimensionalen Semi-Riemannschen Mannigfaltigkeiten aus, bei denen die Metrik nicht positiv definit ist? Betrachten wir speziell den Fall mit \( s = 3 \) aus der allgemeinen Relativitätstheorie (manche Bücher verwenden auch die Konvention \( s = 1 \)).
Bei 2-Formen ist dann \[ {\star}{\star}\omega = - \omega \] Ein Eigenwert \( \lambda \) müsste demnach die Gleichung \( \lambda^{2} = - 1 \) erfüllen. Da wir uns auf reelle Mannigfaltigkeiten beschränken, so dass die 2-Formen einen reellen Vektorraum bilden, hat diese Gleichung keine Lösung in den reellen Zahlen. Die Folge davon ist: In der Relativitätstheorie hat der Hodge-Sternoperator keine Eigen-Formen.
Man kann 2-Formen dazu verwenden, um beispielsweise die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik (in ihrer relativistischen Formulierung) in die Sprache der Differentialformen zu übersetzen (zu den Maxwellgleichungen siehe z.B. Quantenfeldtheorie und Eichfelder, Kapitel 4: Die kanonische Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes, die spezielle Relativitätstheorie ist in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 3.1: Die Poincaré-Gruppe und den darauf folgenden Kapiteln beschrieben). Als Mannigfaltigkeit dient der Minkowskiraum mit seiner nicht-positiv-definiten Minkowskimetrik, bei dem eine Koordinate (die Null-te) der Zeit entspricht.
Man startet mit dem Feldtensor \( F^{\mu\nu} \), zieht die Indizes mit der Metrik nach unten und bildet die 2-Form \[ F := \sum_{\mu\nu} \, \frac{1}{2} F_{\mu\nu} \, dx^{\mu} \wedge dx^{\nu} \] Der Faktor \( 1/2 \) dient nur dazu, die Doppelzählungen in der Summe entsprechend wieder gutzumachen. Die dazu duale 2-Form \( {\star}F \) wird mit Hilfe des Hodge-Stern-Operators gebildet. Mit \(F\) und \({\star}F\) lauten die Maxwellgleichungen in geeigneten Maßeinheiten: \[ dF = 0 \] \[ d{\star}F = {\star}j \] (siehe z.B. How to Write Maxwell's Equations an a T-Shirt; manchmal definiert man die Stromform auch anders, so dass die zweite Gleichung \( d{\star}F = j \) oder \( d{\star}F = 4 \pi {\star}j \) lautet).
Wie kann man diese beiden Formeln verstehen?
Betrachtet man \(F\), so findet man darin für die räumlichen Koordinaten die Flussform \[ \langle \boldsymbol{B}, \boldsymbol{dA} \rangle \] des Magnetischen Feldes. Die Gleichung \( dF = 0 \) führt dann zu \[ d \langle \boldsymbol{B}, \boldsymbol{dA} \rangle = \langle \mathrm{div} \, \boldsymbol{B}, dV \rangle = 0 \] und somit zu \[ \mathrm{div} \, \boldsymbol{B} = 0 \] Die Zeit-Zeit-Komponente ist Null. Aber \(F\) enthält noch raum-zeitliche Komponenten, die im Wesentlichen aussehen wie \[ \langle \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dx} \rangle \wedge (c \, dt) \] Da \[ d \langle \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dx} \rangle = \langle \mathrm{rot} \, \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dA} \rangle \] ist, entsteht dadurch letztlich die Maxwellgleichung \[ \mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = - d\boldsymbol{B}/(c \, dt) \] Also repräsentiert \( dF = 0 \) die beiden homogenen Maxwellgleichungen.
Analog geht es bei \( d{\star}F = j \). Der Hodge-Stern-Operator bewirkt, dass \( d{\star}F \) genau umgekehrt zu \(F\) die Flussform \[ \langle \boldsymbol{E}, \boldsymbol{dA} \rangle \] und die Form \[ \langle \boldsymbol{B}, \boldsymbol{dx} \rangle \wedge (c \, dt) \] enthält. Damit entstehen die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen \[ \mathrm{div} \, \boldsymbol{E} = \rho \] \[ \mathrm{rot} \, \boldsymbol{B} = \boldsymbol{j}/c + d\boldsymbol{E}/(c \, dt) \]
Allerdings haben die beiden Formeln \( dF = 0 \) und \( d{\star}F = j \) einen Vorteil gegenüber der üblichen Formulierung der Maxwellgleichungen: Sie sind auch in einer gekrümmten Raumzeit sinnvolle Gleichungen, d.h. sie verallgemeinern die Maxwellgleichungen für die allgemeine Relativitätstheorie. Mit ihrer Hilfe müsste man die Bahn eines Lichtstrahls im Gravitationsfeld ausrechnen können. Das Ergebnis müsste eine Geodäte mit verallgemeinerter Bogenlänge (entsprechend der Eigenzeit) Null sein. Mehr dazu in den nächsten Kapiteln zur allgemeinen Relativitätstheorie.
Literatur:
© Jörg Resag, www.joerg-resag.de
last modified on 11 November 2023