Im letzten Kapitel haben wir bereits eine sehr einfache Eichtheorie kennengelernt: die Elektrodynamik. Dabei haben wir den Begriff der Eichtheorie allerdings nur selten benötigt. Wir wissen bisher nur, dass man die elektromagnetischen Potentiale durch Eichtransformationen ändern kann, ohne dass sich dadurch die elektromagnetischen Felder ändern. Weiter haben wir bei den Pfadintegralen kurz angedeutet, dass Eichtransformationen etwas mit einer Eichgruppe G zu tun haben. Im Fall der Elektrodynamik ist \(G = U(1)\), d.h. die Gruppenelemente verändern die Phase komplexer Zahlen. Dabei blieb allerdings im Dunkeln, was für einen Hintergrund diese Vorgehensweise hat. In diesem Kapitel wollen wir versuchen, etwas Licht in diese Dunkelheit zu bringen.
Um den Begriff der Eichtheorie zu verstehen, muss man über die reinen Eichpotentiale hinausgehen und komplexwertige Felder in der Raumzeit betrachten, die wir mit \( \psi_i(x) \) bezeichnen wollen (\( x = (ct, \boldsymbol{x}) \) ist wie immer unser vierkomponentiger Zeit-Raum-Vektor). Der Index \(i\) soll dabei von \(1\) bis zu einer Zahl \(N\) laufen. Weiter verwenden wir die Abkürzung \[ \psi(x) = \begin{pmatrix} \psi_1(x) \\ \psi_2(x) \\ ... \\ \psi_N(x) \end{pmatrix} \]
Wozu braucht man solche komplexwertigen Felder in Raum und Zeit? Man benötigt sie, wenn man eine klassische Feldtheorie formulieren will, die nach ihrer Quantisierung auch Teilchen enthält, die nicht durch Eichfelder beschrieben werden können. Will man also beispielweise in der Quantenelektrodynamik auch Elektronen mit betrachten, so muss man in der Lagrangedichte solche komplexwertigen Felder einbauen – mit ihrer Hilfe wird dann eine passende Stromdichte konstruiert. Dabei haben die komplexwertigen Felder in der klassischen Theorie keine direkte anschauliche Bedeutung (nur die daraus konstruierte Stromdichte lässt sich ggf. anschaulich interpretieren). Die Felder dienen lediglich dazu, eine korrekte Quantentheorie zu formulieren, beispielsweise mit Hilfe der Pfadintegral-Quantisierung.
Wir wollen hier nicht weiter auf die Details eingehen, sondern einfach die Notwendigkeit der komplexwertigen Felder akzeptieren, sobald beispielsweise Fermionen wie Elektronen oder Quarks in der Theorie mit beschrieben werden sollen.
Nun folgt der nächste Schritt: Wir wollen die Felder \(\psi(x)\) verändern, und zwar mit Hilfe einer \(N \times N\)-Matrix \(U\) mit komplexwertigen Matrixelementen (z.B. also beispielsweise mit einer unitären Matrix). Diese Matrix soll auf dem Raum der Funktionswerte \( \psi_i(x) \) operieren, also aus \(\psi(x)\) die Funktion \( U \, \psi(x) \) machen. In Komponenten ausgeschrieben bedeutet das: \[ [U \, \psi(x)]_i = \sum_{j=1}^n U_{ij} \, \psi_j(x) \] Das Raumzeit-Argument \(x\) spielt also keine direkte Rolle – anders als bei der Poincaretransformation, die ja zunächst auf der Raumzeit \(x\) definiert ist und die zu einer Darstellung auf den Funktionen und Feldern führt, bei der auch das Argument \(x\) beteiligt ist.
Die Veränderung der Felder mit der Matrix \(U\) soll nun eine innere Symmetrie der gesamten Theorie wiederspiegeln, d.h. die Theorie soll so aufgebaut sein, dass sich die Wirkung \(S\) bei der Umformung der komplexwertigen Felder nicht ändert. Die Veränderung der komplexwertigen Felder mit der Matrix \(U\) soll die Physik der Theorie nicht verändern, so wie sich auch die Physik des elektromagnetischen Feldes nicht ändert, wenn man die elektromagnetischen Potentiale durch eine Eichtransformation verändert.
Dies ist die Grundannahme bei Eichtheorien! Man versucht, die Theorie so zu konstruieren, dass sie gewisse innere Symmetriebedingungen erfüllt. Dabei hofft man, dass die Symmetrieforderung die Struktur der Theorie (d.h. die Gestalt der Lagrangedichte) weitgehend festlegt. Warum man gerade so vorgeht, ist dabei aus meiner Sicht nur schwer zu begründen und stellt eines der offenen Rätsel der Physik dar. Es hat sich einfach gezeigt, dass diese Vorgehensweise sehr erfolgreich ist und zu Theorien führt, mit denen sich ein Großteil der Naturgesetze beschreiben lassen. So lassen sich elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung durch Eichtheorien darstellen – lediglich die Theorie der Gravitation (Einsteins allgemeine Relativitätstheorie) sieht etwas anders aus, besitzt aber große Ähnlichkeit mit Eichtheorien.
Wie sieht nun die Matrix \(U\) aus? Bei Eichtheorien geht man folgendermaßen vor: Man startet mit einer Gruppe \(G\), beispielsweise mit der Gruppe \(SU(n)\) der speziell unitären \(n \times n\)-Matrizen (wobei dieses \(n\) nicht gleich \(N\) sein muss). Diese Gruppe \(G\) bezeichnet man auch als Eichgruppe. Wir können uns im Folgenden die Gruppenelemente \(g\) immer als Matrizen vorstellen, d.h. wir beschränken uns auf Gruppen, die sogenannte abgeschlossene Untergruppen der komplexen invertierbaren Matrizen bilden.
Die Matrix \(U\) soll nun zu einer Darstellung der Gruppe \(G\) gehören, d.h. zu jedem Element (Matrix) \(g \in G\) gehört eine Matrix \(U(g)\), und wenn \(g\) und \(h\) zwei Elemente aus \(G\) sind, so soll \( U(g h) = U(g) \, U(h) \) gelten, sodass sich die Gruppenstruktur auf die \(U\)-Matrizen überträgt. Mit anderen Worten: jedes Gruppenelement \(g \in G\) führt zu einer Umformung der komplexen Felder durch die Matrix \(U(g)\). In vielen Fällen ist sogar \(U(g) = g\), d.h. beide Matrizen sind gleich.
Und nun folgt der entscheidende Schritt: Die \(\psi\)-Felder hängen ja von Raum und Zeit ab. Analog lassen wir nun zu, dass auch die Gruppenelemente \(g\) von Raum und Zeit abhängen, d.h. wir haben es mit einer (differentierbaren) Funktion \(g(x)\) mit Werten in \(G\) zu tun. An jedem Ort und zu jeder Zeit darf also ein anderes Gruppenelement \(g(x)\) dazu verwendet werden, das Feld dort umzurechnen: \[ \psi'(x) = U(g(x)) \, \psi(x) \] So etwas bezeichnet man als lokale Eichtransformation (lokal wegen der \(x\)-Abhängigkeit des Gruppenelementes). Die Forderung ist nun, dass auch bei diesen lokalen Eichtransformationen der komplexwertigen Felder die Wirkung und damit die Physik dieselbe bleibt! Dies ist eine sehr weitgehende Forderung, und es ist daher vielleicht nicht allzu erstaunlich, dass dadurch (zusammen mit weiteren Forderungen) die Gestalt einer Theorie (d.h. ihrer Lagrangedichte) weitgehend festgelegt werden kann.
Was benötigt man, um Theorien zu konstruieren, die diese Forderung nach lokaler Eichinvarianz erfüllen? Dazu ist es nützlich, sich zunächst einige Gedanken über die räumliche und zeitliche Veränderung der komplexwertigen Felder \( \psi'(x) = U(g(x)) \, \psi(x) \) zu machen. Diese Veränderung kann nun zwei Ursachen haben:
Schauen wir uns die Details an (wir lassen das Argument \(x\) hier weg, denn wir wissen ja jetzt, dass sowohl das Gruppenelement \(g\) als auch die Felder \(\psi\) von \(x\) abhängen): \[ \partial_\mu \psi' = \] \[ = \partial_\mu [U(g) \, \psi] = \] \[ = U(g) \, \partial_\mu \psi + [\partial_\mu U(g)] \, \psi = \] ... wir klammern \(U(g)\) aus, wobei wir aufgrund der Darstellungseigenschaft von \(U\) verwenden, dass \( (U(g))^{-1} = U(g^{-1}) \) ist: \[ = U(g) \, [\partial_\mu + U(g^{-1}) \, \partial_\mu U(g)] \, \psi = (*) \] An dieser Stelle benötigen wir eine kleine Zwischenrechnung, um den zweiten Term \(U(g^{-1}) \, \partial_\mu U(g)\), der (bis auf die Ableitung \(\partial_\mu\)) das Produkt von Darstellungen ist, in die Darstellung eines Produktes umzuwandeln. Wir würden also gerne den zweiten Term in eine Form wie \(U'(g^{-1} \partial_\mu g) \) bringen, wobei noch zu klären ist, was \(U'\) genau bedeutet (in der Klammer steht ja kein Gruppenelement mehr, sondern u.a. die Ableitung eines Gruppenelementes). Rechnen wir es aus, wobei wir das Argument \(x\) jetzt wieder hinschreiben und dabei \(x = x^\mu \, e_\mu\) (mit Summe über \(\mu\) und den orthonormalen Einheits-Basisvektoren \(e_\mu\)) sowie die Darstellungseigenschaft von \(U\) verwenden; der in der Rechnung verwendete reelle Parameter \(t\) hat nichts mit der Zeit zu tun, ist also unabhängig vom Raumzeitpunkt \(x\) und dient nur dazu, die Gruppenelemente in Richtung \(e_\mu\) zu parametrisieren): \[ U(g(x)^{-1}) \, \partial_\mu U(g(x)) = \] \[ = U(g(x)^{-1}) \, \frac{d}{dt} U(g(x + t e_\mu)) \bigg|_{t=0} = \] \[ = \frac{d}{dt} \, U(g(x)^{-1}) \, U(g(x + t e_\mu)) \bigg|_{t=0} = \] \[ = \frac{d}{dt} \, U(g(x)^{-1} \, g(x + t e_\mu)) \bigg|_{t=0} = (**) \] Das Gruppenelement \( g(x)^{-1} \, g(x + t e_\mu) \), das als Argument von \(U\) auftritt, ist für \(t=0\) gleich \( g(x)^{-1} \, g(x) = 1 \), also gleich dem Gruppen-Einselement, d.h. die Schar dieser Gruppenelemente bildet bei wachsendem \(t\) eine Kurve im Raum der Gruppenelemente, die bei \(t=0\) durch \(1\) geht. Nennen wir diese Kurve \(\gamma(t)\), also \[ \gamma(t) = g(x)^{-1} \, g(x + t e_\mu) \] Allgemein definieren wir für eine Kurve \(\gamma(t)\) im Raum der Gruppenelemente, die bei \(t=0\) durch \(1\) geht, die Matrix \(U'\) durch \[ U'\left( \frac{d}{dt} \gamma(t) \bigg|_{t=0} \right) := \frac{d}{dt} U( \gamma(t) ) \bigg|_{t=0} \] Mathematisch gesprochen ist \(U'\) eine Matrix, die von den Tangentenvektoren \( \frac{d}{dt} \gamma(t) \bigg|_{t=0} \) am Einselement im Gruppenraum abhängt. Diese Matrix ist gleich dem dazugehörenden Tangentenvektor am Einselement im Darstellungsraum. Auf diese Weise erhält man eine Art Darstellung des Tangentialraums am Einselement der Gruppe. Man spricht von der Darstellung der Lie-Algebra, wobei wir diesen Begriff hier nicht vertiefen wollen. Und wen die mathematische Begrifflichkeit weniger interessiert, der kann sich jederzeit konkrete Matrizen in den obigen Formeln vorstellen – dann sind alle Definitionen unmittelbar klar.
Damit können wir die obige Rechnung nun weiterführen: \[ (**) = \frac{d}{dt} \, U(g(x)^{-1} \, g(x + t e_\mu)) \bigg|_{t=0} = \] \[ = U' \left( \frac{d}{dt} g(x)^{-1} \, g(x + t e_\mu) \bigg|_{t=0} \right) = \] \[ = U'(g^{-1} \partial_\mu g) \] Unser Zwischenergebnis lautet also: \[ U(g^{-1}) \, \partial_\mu U(g) = U'(g^{-1} \partial_\mu g) \] Dieses Zwischenergebnis verwenden wir nun, um die bei (*) unterbrochene Rechnung zuende zu führen: \[ (*) = U(g) \, [\partial_\mu + U(g^{-1}) \, \partial_\mu U(g)] \, \psi = \] \[ = U(g) \, [\partial_\mu + U'(g^{-1} \partial_\mu g)] \, \psi \] Unser Ergebnis für die Raum-Zeitliche Veränderung von \( \psi' = U(g) \, \psi \) lautet also: \[ \partial_\mu \psi' = \partial_\mu \, [U(g) \, \psi] = \] \[ = U(g) \, [\partial_\mu + U'(g^{-1} \partial_\mu g)] \, \psi \] Wenn die Eichtransformation \(g\) nicht von \(x\) abhängt (man spricht dann von globalen Eichtransformationen), dann fällt der zweite Term einfach weg und wir haben \( \partial_\mu \, [U(g) \, \psi] = U(g) \, \partial_\mu \, \psi \) also genauso wie es sein muss (denn \(g\) und damit \(U(g)\) hängt dann ja nicht von \(x\) ab).
Gehen wir nun von einer Theorie freier (d.h. nicht miteinander wechselwirkender) Fermionen (z.B. Elektronen) oder freier Bosonen (z.B. Mesonen) aus. Das entsprechende Wirkungsfunktional enthält dann nur Terme mit den Feldern \(\psi(x)\), deren raum-zeitlichen Ableitungen \(\partial_\mu \psi(x)\) sowie als Parameter die Teilchenmasse \(m\) . Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind die freie Diracgleichung bzw. die freie Klein-Gordon-Gleichung. Das Wirkungsfunktional ist dabei bereits so aufgebaut, dass es sich bei einer globalen (also immer und überall gleichen) Eichtransformation nicht verändert. Wenn wir also jedes Feld \(\psi(x)\) darin durch das Feld \( \psi'(x) = U(g) \, \psi(x) \) ersetzen, so ändert sich sein Wert nicht, wenn \(g\) von \(x\) unabhängig ist.
Die Frage lautet nun:
Anders gesagt: Wie muss das Wirkungsfunktional abgeändert werden, damit es auch eichinvariant ist, wenn \(g\) von \(x\) abhängt?
Da das Wirkungsfunktional ja bereits global eichinvariant ist, können Probleme nur an den Stellen entstehen, an denen die Raum-Zeit-Abhängigkeit von \(g(x)\) wichtig wird. Dies ist für die Terme der Fall, die raum-zeitliche Ableitungen von \(\psi(x)\) enthalten, also für Terme mit \(\partial_\mu \psi(x)\). Ersetzt man hier \(\psi(x)\) durch \( \psi'(x) = U(g(x)) \, \psi(x) \), so tritt bei raum-zeitabhängigem \(g(x)\) der Zusatzterm \[ U'(g^{-1} \partial_\mu g) \, \psi \] auf (siehe die obige Rechnung), den es bei raum-zeit-unabhängigem \(g\) nicht gibt. Wenn wir den Term \( \partial_\mu \psi \) in der Lagrangedichte also so verändern könnten, dass wir den störenden Zusatzterm darin kompensieren können, dann würde sich der veränderte \( \partial_\mu \psi \)-Term bei lokalen Eichtransformationen genauso wie bei globalen Eichtransformationen verhalten und die Wirkung wäre auch lokal eichinvariant.
Um den Zusatzterm zu kompensieren, wollen wir in \( \partial_\mu \psi(x) \) ein neues sogenanntes Eichfeld \( A_\mu(x) \) einführen, das den Zusatzterm wegheben soll. Dieses Feld \( A_\mu \) soll analog zum Störterm \( g^{-1} \partial_\mu g \) Werte im Gruppen-Tangentialraum am Einselement annehmen, d.h. zu jeder Komponente \( A_\mu(x) \) gibt es eine Kurve \(\gamma(t)\) im Raum der Gruppenelemente, die bei \(t=0\) durch das neutrale \(1\)-Gruppenelement geht, so dass \[ A_\mu(x) = \frac{d}{dt} \gamma(t) \bigg|_{t=0} \] ist. Entsprechend ist auch die Darstellung \( U'(A_\mu(x)) \) wohldefiniert. Warum wir das alles so machen, sehen wir etwas später.
Wir ersetzen in der Lagrangedichte nun \( \partial_\mu \psi(x) \) durch den neuen Term \[ D_\mu \psi(x) := [\partial_\mu - U'(A_\mu(x)) ] \, \psi(x) \] Welche Forderung müssen wir an das Feld \(A_\mu(x)\) stellen, damit es bei lokalen Eichtransformationen den störenden Term weghebt?
Zunächst einmal werden wir verlangen, dass auch das Feld \(A_\mu(x)\) sich bei einer Eichtransformation in ein neues Feld (nennen wir es \( (T_g A)_\mu(x) \) ) umwandelt, denn der Störterm verändert sich ebenfalls bei Eichtransformationen. Das Feld \(A\) wird also ebenso wie das Feld \(\psi\) eichtransformiert, allerdings nicht unbedingt nach demselben Transformationsgesetz.
Wir wollen nun versuchen, das Eichtransformationsgesetz von \(A\) so zu wählen, dass der Zusatzterm von oben wegfällt. Damit wollen wir erreichen, dass sich \( D_\mu \psi(x) \) bei lokalen Eichtransformationen genauso verhält wie sich \( \partial_\mu \psi(x) \) bei globalen (d.h. \(x\)-unabhängigen) Eichtransformationen verhält. Wenn wir dann \( \partial_\mu \psi(x) \) in der Lagrangedichte durch \( D_\mu \psi(x) \) ersetzen, so wird aus der global eichinvarianten Wirkung eine lokal eichinvariante Wirkung.
Rechnen wir es also aus (der Strich bei \(D'_\mu\) soll andeuten, dass wir statt \(A\) das eichtransformierte \( T_g A \) einsetzen müssen; das Argument \(x\) lassen wir zur besseren Lesbarkeit weg): \[ D'_\mu \psi' = \] \[ D'_\mu \, U(g) \, \psi = \] \[ = [\partial_\mu - U'(T_g A_\mu) ] \, U(g) \, \psi = \] \[ = U(g) \, [\partial_\mu + U'(g^{-1} \partial_\mu g)] \, \psi + \] \[ - U'(T_g A_\mu) \, U(g) \, \psi = \, ... \] wir klammern \(U(g)\) aus und verwenden wegen der Darstellungseigenschaft, dass \( [U(g)]^{-1} = U(g^{-1}) \) ist: \[ ... \, = U(g) \, \big[ \partial_\mu + U'(g^{-1} \partial_\mu g) + \] \[ - U(g^{-1}) \, U'(T_g A_\mu) \, U(g) \big] \, \psi = \, ... \] Wir fordern, dass \( T_g A \) analog zu \(A\) aus dem Gruppen-Tangentialraum am Einselement stammt. Ob dies nachher konsistent zu dem ermittelten Transformationsgesetz ist, werden wir später überprüfen. Analog zu der Rechnung oben mit dem Term \((**)\) können wir nun zeigen, dass \( U(g^{-1}) \, U'(T_g A_\mu) \, U(g) = U'(g^{-1} \, T_g A_\mu \, g) \) ist, und dies einsetzen: \[ ... \, = U(g) \, \big[ \partial_\mu + U'(g^{-1} \partial_\mu g) + \] \[ - U'(g^{-1} \, T_g A_\mu \, g) \big] \, \psi = \, ... \] Die Darstellung \(U'\) ist linear, da sie über eine Ableitung definiert ist. Daher können wir die beiden \(U'\)-Terme zusammenfassen und ein Vorzeichen ausklammern: \[ = U(g) \, \big[ \partial_\mu - U'(-g^{-1} \partial_\mu g + g^{-1} \, T_g A_\mu \, g) \big] \, \psi = \] Und jetzt kommt unsere Forderung: Der obige Term soll gleich dem folgenden Term sein: \[ = U(g) \, \big[ \partial_\mu - U'(A_\mu) \big] \, \psi = \] \[ = U(g) \, D_\mu \, \psi \] Damit unsere Forderung erfüllt ist, muss also gelten: \[ -g^{-1} \partial_\mu g + g^{-1} \, T_g A_\mu \, g = A_\mu \] Dieses Transformationsgesetz für die Eichfelder \(A\) stellt sicher, dass \[ D'_\mu \, U(g) \, \psi = U(g) \, D_\mu \, \psi \] gilt, sodass die Wirkung nicht nur global, sondern auch lokal eichinvariant ist (denn \(D_\mu\) bzw. \(D'_\mu\) verhalten sich bei \(x\)-abhängigem \(g(x)\) nun so, wie dies \(\partial_\mu\) bei \(x\)-unabhängigem \(g\) tut: die vertauschen mit \(U(g)\)).
Wir können diese Forderung noch nach \( T_g A \) freistellen:
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Dies ist genau das Transformationsgesetz, das wir im letzten Kapitel (Kapitel 5.4.5) bereits kennengelernt haben. Kurze Nebenbemerkung: Wegen \[ 0 = \partial_\mu 1 = \partial_\mu (g\,g^{-1}) = \] \[ = (\partial_\mu g) \,g^{-1} + g \, \partial_\mu g^{-1} \] gilt \[ (\partial_\mu g) \,g^{-1} = - g \, \partial_\mu g^{-1} \] sodass kann man die obige Formel auch etwas anders schreiben kann. Wir verzichten hier darauf.
Halten wir noch einmal fest:
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Man kann sich die Frage stellen, ob \( (T_g A)_\mu(x) \) auch wirklich wieder ein Element im Gruppen-Tangentialraum am Einselement ist. Starten wir dazu mit \[ A_\mu(x) = \frac{d}{dt} \gamma(t) \bigg|_{t=0} \] für ein festes \(x\) und ein festes \(\mu\). Dabei ist wieder \(\gamma(t)\) eine Kurve im Gruppenraum mit \(\gamma(0) = 1\). Der Kurvenparameter \(t\) hat wieder nichts mit der Zeit zu tun, d.h. \(t\) und \(x\) sind unabhängig voneinander.
Nun ist auch die neue Kurve \[ \gamma_1(t) := g(x) \, \gamma(t) \, g(x)^{-1} \] eine solche Kurve mit \(\gamma_1(0) = 1\), ebenso wie die Kurve \[ \gamma_2(t) := g(x + t e_\mu) \, g(x)^{-1} \] Alle diese Kurven mit Werten im Raum der Gruppenelemente gehen beim Kurvenparameter \(t=0\) durch das Gruppen-Einselement.
Auch das Gruppenprodukt der Kurven \( \gamma_1(t) \, \gamma_2(t) \) ist eine solche Kurve im Gruppenraum mit dem Einselement als Wert für \(t=0\). Bilden wir die Ableitung dieser Kurve (wobei wir die Produktregel sowie \(\gamma_1(0) = 1\) und \(\gamma_2(0) = 1\) verwenden): \[ \frac{d}{dt} [ \gamma_1(t) \, \gamma_2(t) ] \bigg|_{t=0} = \] \[ = \frac{d}{dt} \gamma_1(t) \bigg|_{t=0} \, \gamma_2(0) + \gamma_1(0) \, \frac{d}{dt} \gamma_2(t) \bigg|_{t=0} = \] \[ = \frac{d}{dt} \gamma_1(t) \bigg|_{t=0} + \frac{d}{dt} \gamma_2(t) \bigg|_{t=0} = \] \[ = g(x) \, \frac{d}{dt} \gamma(t) \bigg|_{t=0} \, g(x)^{-1} + \] \[ + \frac{d}{dt} g(x + t e_\mu)\bigg|_{t=0} \, g(x)^{-1} = \] \[ = g(x) \, A_\mu(x) \, g(x)^{-1} + (\partial_\mu g(x)) \, g(x)^{-1} = \] \[ = (T_g A)_\mu(x) \] Damit haben wir gezeigt, dass \(T_g A_\mu\) tatsächlich ebenfalls wieder im Tangentialraum der Gruppe am Einselement enthalten ist. Kurze Nebenbemerkung: Die Abbildung \[ \mathrm{Ad}(g) \, A_\mu := g \, A_\mu \, g^{-1} \] die ja dem ersten Term der Transformationsformel entspricht, nennt man auch adjungierte Darstellung der Gruppe.
Im Fall der Elektrodynamik ist die Eichgruppe \(G\) gleich der Gruppe \(U(1)\), d.h. es ist \( g = e^{i \chi(x)} \) und damit \[ T_g A_\mu = A_\mu + \partial_\mu \chi \] (siehe vorheriges Kapitel). Die Darstellung auf den \(\psi\)-Feldern ist trivial, denn wir können \(N = 1\) wählen (d.h. es gibt nur ein Feld) und haben damit \[ U(g) \, \psi = g \, \psi = e^{i \chi} \psi \] Analog ist \[ U'(A_\mu) = A_\mu \] Statt einem \(\psi\)-Feld können auch mehrere solcher Felder auftreten (z.B. als Komponenten eines sogenannten Dirac-Spinors), die sich aber alle nach demselben Gesetz transformieren, d.h. jede Feldkomponente verhält sich gleich.
Das Eichfeld \(A_\mu\) entspricht also im Fall der Elektrodynamik (bis auf einen Vorfaktor) gerade den elektromagnetischen Potentialen. Die kovariante Ableitung führt dabei gerade zur richtigen Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen (dargestellt durch die \(\psi\)-Felder) und diesen Potentialen (was wir hier einfach ohne weitere Erklärung glauben wollen). Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz der Wirkung hat also im Fall der Eichgruppe \(U(1)\) die Einführung elektromagnetischer Potentiale erzwungen.
Analog funktioniert dieses Schema auch beispielsweise im Fall der starken Wechselwirkung. In diesem Fall ist die Eichgruppe gleich \(SU(3)\), und wir müssen mindestens drei \(\psi\)-Felder verwenden (die dann einen sogenannten Farb-Index \(i\) tragen).
In der Elektrodynamik enthält die Lagrangedichte allerdings noch einen Term mit dem sogenannten Feldstärketensor \(F^{\mu\nu}\) , der die raumzeitliche Dynamik des elektromagnetischen Feldes bestimmt. Dieser Term wird durch die Forderung nach lokaler Eichinvarianz nicht erzwungen, aber er ist mit dieser Forderung verträglich, denn der Feldstärketensor ist lokal eichinvariant. Wie aber sieht das Analogon dieses Feldstärketensor bei anderen Eichgruppen als \(U(1)\) aus, beispielsweise bei der Eichgruppe \(SU(3)\) der starken Wechselwirkung?
Um das herauszufinden, wollen wir uns von der folgenden Überlegung leiten lassen:
Der Feldstärketensor soll in der nichtquantisierten Theorie die Anwesenheit von Kraftfeldern darstellen. Ist der Feldstärketensor gleich Null, so sind keine solchen Kraftfelder vorhanden. Diese Situation muss man auch durch verschwindende Potentiale \(A^\mu\) darstellen können. Bei gegebenen Potentialen \(A^\mu\) muss es also möglich sein, diese Potentiale durch Eichtransformationen verschwinden zu lassen, damit die gegebenen Potentiale den Kraftfeld-freien Fall darstellen können.
Stellen wir also die Frage: Woran können wir erkennen, dass sich gegebene Potentiale \(A^\mu\) durch Eichtransformationen zum Verschwinden bringen lassen, d.h. woran können wir erkennen, dass der Kraftfeld-freie Fall vorliegt?
Wir versuchen also, eine Eichtragsformation \(g\) so zu wählen, so dass bei vorgegebenem \(A^\mu\) die Beziehung \( T_g A_\mu = 0 \) gilt. Setzen wir die obige Formel für \( T_g A_\mu \) in diese Beziehung ein: \[ T_g A_\mu = g \, A_\mu \, g^{-1} + (\partial_\mu g) \, g^{-1} = 0 \] Wir multiplizieren von rechts mit \(g\) und bringen den ersten Term auf die rechte Seite: \[ \partial_\mu g = - g \, A_\mu \] Dies ist bei vorgegebenem \(A^\mu\) ein partielles Differentialgleichungssystem für \(g(x)\). Es weist große Ähnlichkeit mit Gleichungen wie \( \mathrm{grad} \, \Phi = - \boldsymbol{E} \) auf, die wir vom elektrischen Feld und elektrischen Potential her kennen. Eine solche Gleichung ist lösbar, wenn \( \mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = 0 \) gilt. Analog ist auch die Gleichung für \(g\) lokal lösbar, wenn die Integrabilitätsbedingung \[ (\partial_\mu \partial_\nu - \partial_\nu \partial_\mu) \, g = 0 \] erfüllt ist (auf eine genaue Begründung wollen wir hier verzichten). Wir können diese Bedingung schrittweise durch die Felder \(A^\mu\) ausdrücken, indem wir \( \partial_\mu g = - g \, A_\mu \) einsetzen: \[ - \partial_\mu \, g \, A_\nu + \partial_\nu \, g \, A_\mu = 0 \] Anwenden der Produktregel ergibt \[ - ( (\partial_\mu g) \, A_\nu + g \, (\partial_\mu A_\nu) ) + \] \[ + ( (\partial_\nu g) \, A_\mu + g \, (\partial_\nu A_\mu) ) = \] \[ = 0 \] Erneutes Einsetzen von \( \partial_\mu g = - g \, A_\mu \) liefert: \[ - ( - g \, A_\mu \, A_\nu + g \, (\partial_\mu A_\nu) ) + \] \[ + ( - g \, A_\nu \, A_\mu + g \, (\partial_\nu A_\mu) ) = \] \[ = 0 \] Wir klammern \( - g \) aus und sortieren die Terme etwas: \[ -g \, (- A_\mu A_\nu + \partial_\mu A_\nu + A_\nu A_\mu - \partial_\nu A_\mu) = 0 \] Multiplikation mit \( -g^{-1} \) eliminiert den Vorfaktor \( - g\). Den Rest können wir mit Hilfe des Kommutators \[ [ A_\mu, A_\nu ] := A_\mu A_\nu - A_\nu A_\mu \] schreiben als \[ \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - [ A_\mu, A_\nu ] = 0 \] Das ist unser Startgleichungt \( T_g A_\mu = 0 \), ausgedrückt durch die Eichfelder. Diese lassen sich also wegeichen, wenn sie die obigen Bedingung erfüllen.
Die ersten beiden Terme kennen wir bereits vom Feldstärketensor der Elektrodynamik. Hinzugekommen ist der Kommutator-Term. Er fällt weg, wenn die Eichfelder wie in der Elektrodynamik kommutieren, da sie Zahlen sind (siehe weiter unten). Im allgemeinen Fall kommutieren sie dagegen nicht, denn sie sind – wie auch \(g\) – als Elemente des Gruppen-Tangentialraums Matrizen. In Analogie zur Elektrodynamik wollen wir im allgemeinen Fall den Feldstärketensor definieren als
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Damit haben wir erreicht: Wenn \( F_{\mu\nu} = 0 \) ist, so lässt sich \(A_\mu\) wegeichen, d.h. wir haben den kraftfeldfreien Fall vor uns. Ob die obige Definition des Feldstärketensors auch alle anderen Anforderungen erfüllt, wollen wir uns jetzt noch genauer ansehen.
Erster Test: geht der Feldstärketensor im Fall der Elektrodynamik in den dort üblichen Feldstärketensor über? Verschwindet also der Kommutator \( [ A_\mu, A_\nu ] \) ?
In der Elektrodynamik ist die Eichgruppe gleich \(U(1)\), d.h. die Gruppenelemnte sind einfach nur komplexe Zahlen vom Betrag 1, also \( g = e^{i \, \chi} \) mit reellem \( \chi \). Das Eichfeld ist die Ableitung einer Kurve \( \gamma(t) = e^{i \, \chi(t)} \) (mit \( \chi(0) = 0 \) ), also \[ A_\mu = \frac{d}{dt} \gamma(t) \bigg|_{t=0} = i \frac{d}{dt} \chi(t) \bigg|_{t=0} \] Wir sehen also, dass \(A_\mu\) eine (rein imaginäre) Zahl ist, so dass der Kommutator verschwindet, denn Zahlen vertauschen miteinander. Übrigens sehen wir auch: um zum gewohnten Potential der Elektrodynamik zu gelangen, müssen wir das imaginäre \(i\) noch wegdefinieren. Auf Details wollen wir hier verzichten.
Zweiter Test: Wie sieht das Transformationsverhalten des Feldstärketensors bei lokalen Eichtransformationen aus? Dafür müssen wir in \(F_{\mu\nu}\) alle \(A_\mu\) durch \(T_g A_\mu\) ersetzen, also überall wieder unsere Formel \[ T_g A_\mu = g \, A_\mu \, g^{-1} + (\partial_\mu g) \, g^{-1} \] anwenden. Wir überspringen die etwas längliche Rechnung und geben das Ergebnis einfach an: \[ T_g F_{\mu\nu} = g \, F_{\mu\nu} \, g^{-1} \] Wir sehen also: der Feldstärketensor ist im Gegensatz zur Elektrodynamik im Allgemeinen nicht eichinvariant. Allerdings transformiert er sich etwas einfacher als die Eichfelder \(A_\mu\), bei denn ja noch der Zusatzterm \( (\partial_\mu g) \, g^{-1} \) in der Transformationsformel auftritt. Im Feldstärketensor heben sich all diese Zusatzterme gegenseitig weg, denn genau so ist er gebaut.
Im Fall der Elektrodynamik sind allerdings sowohl \(g\) also auch das Tensorelement \(F_{\mu\nu}\) einfach Zahlen, so dass sich \(g\) und \(g^{-1}\) wegheben, denn die Reihenfolge im Produkt spielt keine Rolle. Für die Elektrodynamik ist also der Feldstärketensor eichinvariant.
Nun muss der Feldstärketensor auch nicht unbedingt eichinvariant sein. Es muss sich lediglich aus ihm ein eichinvarianter Term im Wirkungsfunktional konstruieren lassen, damit die Wirtkung und damit die Physik eichinvariant sind. Dazu wollen wir uns noch einmal überlegen, was für ein mathematisches Objekt der Feldstärketensor eigentlich ist.
Wenn wir davon ausgehen, dass die Gruppenelemente und damit auch die \(A\)-Felder Matrizen sind, so ist der Ausdruck \[ F_{\mu\nu} := \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - [ A_\mu, A_\nu ] \] sofort als Matrix definiert.
Von einem abstrakten Standpunkt aus gesehen haben wir dagegen zunächst nur die Struktur der Gruppe vorgegeben, von der wir lediglich wissen, dass sie eine sogenannte Lie-Gruppe ist, d.h. die Gruppe verhält sich wie ein geometrischer Raum, in dem Koordinaten (die Gruppenparameter) eingeführt werden können (eine sogenannte Mannigfaltigkeit). Insbesondere gibt es Kurven in diesem Raum, und man kann die Ableitung dieser Kurven nach dem Kurvenparameter definieren.
Davon ausgehend konnten wir bereits die \(A\)-Felder als Tangentialvektoren im Einselement definieren (siehe oben). Der Raum dieser Tangentialvektoren bildet einen Vektorraum. Die Addition in diesem Raum ist beispielsweise so definiert: Sind \[ A_\mu = \frac{d}{dt} \gamma_1(t) \bigg|_{t=0} \] \[ B_\mu = \frac{d}{dt} \gamma_2(t) \bigg|_{t=0} \] mit \( \gamma_1(0) = \gamma_2(0) = 1 \), so ist die Summe dieser Tangentialvektoren definiert als \[ A_\mu + B_\mu := \frac{d}{dt} \big[ \gamma_1(t) \, \gamma_2(t) \big] \bigg|_{t=0} \] Dies bildet auf abstrakter Ebene die Definition der Addition im Ausdruck für den Feldstärketensor.
Man kann aber neben der Vektorraumstrukur mit der Vektoraddition noch eine weitere Struktur im Tangentialraum definieren: eine Produktstruktur (genauer: eine Algebra-Struktur). Dazu starten wir wieder mit den zwei Kurven im Gruppenraum wie oben. Wir betrachten nun das Gruppenprodukt \[ \gamma_2(s) \, \gamma_1(t) \, \gamma_2(s)^{-1} \] wobei zwei unabhängige reelle Kurvenparameter \(s\) und \(t\) auftreten. Für festes \(s\) ist dieses Produkt eine Kurve im Gruppenraum mit Kurvenparameter \(t\), die bei \(t=0\) durch das Einselement läuft. Die Ableitung dieser Kurve nach \(t\) bei \(t=0\) ergibt also ein Element des Tangentialraums am Einselement. Verwenden wir darin wieder die Abkürzung \[ A_\mu = \frac{d}{dt} \gamma_1(t) \bigg|_{t=0} \] so ist dieser Tangentialvektor gleich \[ \gamma_2(s) \, A_\mu \, \gamma_2(s)^{-1} \] Dieser Ausdruck stellt nun eine Kurve im Tangentialraum mit Kurvenparameter \(s\) dar. Die Ableitung dieser Kurve nach \(s\) in \(s=0\) ergibt aufgrund der Vektorraumstruktur ebenfalls wieder ein Element im Tangentialraum. Wir führen nun die folgende Schreibweise ein (wobei wir die Abkürzung \[ B_\nu = \frac{d}{ds} \gamma_2(s) \bigg|_{s=0} \] verwenden; die Indices \(\mu , \nu\) spielen hier im Grunde erst einmal keine Rolle): \[ [A_\mu, B_\nu] := \frac{d}{ds} \gamma_2(s) \, A_\mu \, \gamma_2(s)^{-1} \bigg|_{s=0} \] Diese Kommutatorschreibweise ist motiviert durch die übliche Produktregel für Ableitungen sowie durch die Tatsache, dass wegen \[ 0 = \frac{d}{ds} \, 1 = \frac{d}{ds} \gamma_2(s) \, \gamma_2(s)^{-1} \bigg|_{s=0} = \] \[ = \frac{d}{ds} \gamma_2(s) \bigg|_{s=0} + \frac{d}{ds} \gamma_2(s)^{-1} \bigg|_{s=0} \] einfach \[ \frac{d}{ds} \gamma_2(s)^{-1} \bigg|_{s=0} = - \frac{d}{ds} \gamma_2(s) \bigg|_{s=0} = - B_\nu \] ist. Für Matrizen ist also das so definierte \[ [A_\mu, B_\nu] = A_\mu B_\nu - B_\nu A_\mu \] Wir sehen aber, dass wir unabhängig von der Matrixdarstellung auch eine abstrakte Definition von \([A_\mu, B_\nu]\) allein aufgrund der Gruppenstruktur haben. Insbesondere ist \([A_\mu, B_\nu]\) selbst wieder ein Element des Tangentialraums. Genau diese Klammer wird oben in der Definition des Feldstärketensors verwendet. Insbesondere wissen wir nun:
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Man kann nun bei den meisten Eichgruppen (z.B. bei \(U(1)\) und \(SU(n)\) ) auf dem Tangentialraum eine reellwertige Bilinearform einführen, die wir mit \( ( , ) \) bezeichnen wollen, und die invariant unter der adjungierten Darstellung von Eichtransformationen ist, d.h. \[ (\mathrm{Ad}(g) A, \mathrm{Ad}(g) B ) = (A ,B ) \] für jedes \(A, B\) aus dem Tangentialraum. Dies wollen wir hier nicht abstrakt durchführen, sondern wir gehen einfach davon aus, dass \(A\) und \(B\) Matrizen sind, und dass die Eichgruppe gleich \(U(n), SU(n)\) oder \(SO(n)\) ist. In diesem Fall ergibt \[ (A, B) := - \mathrm{Spur} \, (A B) \] eine solche (sogar positiv definite) Bilinearform (rechts steht das Matrixprodukt).
Damit können wir nun aus dem Feldstärketensor den eichinvarianten Ausdruck \[ (F_{\mu\nu}, F^{\mu\nu}) := - \mathrm{Spur} \, (F_{\mu\nu} \, F^{\mu\nu}) \] (mit impliziter Summe über \(\mu\) und \(\nu\)) bilden und ihn mit geeignetem Vorfaktor der Lagrangedichte hinzufügen. Jedes \(F_{\mu\nu}\) ist dabei für jede Wertekombination von \(\mu\) und \(\nu\) eine Matrix, und die Spur wird für diese Matrizen gebildet, hat also nichts mit den Lorentzindices zu tun. Die Details (die auch zur Einführung einer sogenannten Ladung führen) wollen wir hier aber nicht genauer besprechen. Lediglich einen Aspekt wollen wir uns dazu noch ansehen:
Was geschieht, wenn wir in der Lagrangedichte alle \(\psi\)-Felder weglassen und nur noch den Term \( (F_{\mu\nu}, F^{\mu\nu}) \) stehen lassen?
Im Fall der Elektrodynamik (Eichgruppe \(U(1)\)) fällt im Feldstärketensor der Kommutator der \(A\)-Potentiale weg. Dies führt zu linearen Feldgleichungen und damit zum bekannten Superpositionsprinzip der elektromagnetischen Felder. Kurz gesagt: elektromagnetische Felder beeinflussen sich nicht gegenseitig. In der Quantentheorie bedeutet das: Photonen wechselwirken nicht direkt miteinander.
Dies ist bei anderen Eichgruppen wie beispielsweise bei \(SU(3)\) anders. Der Kommutator der \(A\)-Potentiale fällt nicht weg, denn die einzelnen \(A_\mu\) sind für jeden \(\mu\)-Wert unterschiedliche Matrizen, die für verschiedene \(\mu\)-Werte nicht unbedingt miteinander vertauschbar sind. Man spricht dann von nichtabelschen Eichtheorien. Die Feldgleichungen sind dann nichtlinear und die entsprechenden Felder beeinflussen sich gegenseitig. In der Quantentheorie bedeutet das, dass die Feldquanten (beispielsweise die Gluonen der Quantenchromodynamik) direkt miteinander wechselwirken können. Daher gibt es in der Eichtheorie normalerweise keine freien Felder. Die Wechselwirkung ist zwangsläufig immer mit eingebaut!
Es gibt noch viele weitere sehr interessante Aspekte, die sich bei Eichtheorien hier ansprechen ließen. Hier nur einige kleinere Kostproben:
Wir wollen diese Aspekte hier nicht weiter vertiefen, sondern im nächsten Kapitel nun endlich das eigentliche Millenium-Problem formulieren, das nach der mathematischen Existenz einer Quanten-Eichtheorie fragt, bei der die Lagrangedichte nur den Term \( (F_{\mu\nu}, F^{\mu\nu}) \) enthält (also keine Terme mit \(\psi\)-Feldern). Bei der Eichgruppe \(SU(3)\) wäre dies genau die Theorie der starken Wechselwirkung ohne Quarks, also die Theorie der Gluonen und ihrer Wechselwirkung (Stichwort: Glue-Bälle).
Literatur:
© Jörg Resag, www.joerg-resag.de
last modified on 13 June 2023