Kapitel 5
Die allgemeine Relativitätstheorie

3    Die Einsteinschen Feldgleichungen

• Gravitation und Raumzeit-Krümmung
• Der Riemannsche Krümmungstensor
• Der Ricci-Tensor
• Andere Kontraktionen des Krümmungstensors
• Der Weyl-Tensor
• Der Ricci-Skalar
• Der Energie-Impuls-Tensor
• Der Energie-Impuls-Tensor von Staub
• Der Energie-Impuls-Tensor einer reibungsfreien Flüssigkeit (Gas)
• Der Energie-Impuls-Tensor in der gekrümmten Raumzeit
• Das verallgemeinerte Gravitationsgesetz (die Einsteinschen Feldgleichungen)
• Herleitung der Einsteinschen Feldgleichungen aus einem Variationsprinzip
• Diskussion des Einsteinschen Gravitationsgesetzes
• Die kosmologische Konstante

Gravitation und Raumzeit-Krümmung

Aus dem letzten Kapitel (Kapitel 5.2 Das Einsteinsche Äquivalenzprinzip) wissen wir, dass in der allgemeinen Relativitätstheorie lokal kein Unterschied zwischen einem beschleunigten Bezugssystem und einer Gravitationswirkung besteht. Daher kann man lokal auch immer ein frei fallendes Bezugssystem finden, in dem man die Gravitation nicht spürt.

Aber: Weit entfernte Objekte nehmen wir in einem Gravitationsfeld zumeist als beschleunigt wahr, auch wenn wir uns selber im freien Fall befinden. Ein Beispiel sind zwei Satelliten, die auf verschiedenen Bahnen die Erde umkreisen. In jedem Satellit spürt man keine Gravitation, aber der jeweils andere Satellit erscheint den schwerelosen Insaßen des einen Satelliten als beschleunigt (d.h. er bewegt sich nicht auf einer geradlinig-gleichförmigen Bahn im Bezugssystem des einen Satelliten).

Die Unmöglichkeit, ein globales Bezugssystem zu finden, in dem sich alle frei fallenden Objekte unbeschleunigt zueinander bewegen, ist daher in der allgemeinen Relativitätstheorie die kennzeichnende Eigenschaft von Gravitation. Mathematisch verhindert die Gravitation, dass man global die Raumzeit mit karthesischen Koordinaten und Minkowski-Metrik beschreiben kann. Aus der Differentialgeometrie weiß man, dass dies genau dann unmöglich ist, wenn der Riemannsche Krümmungstensor ungleich Null ist:

• Gravitation bedeutet mathematisch, dass der Riemannsche Krümmungstensor für die Raumzeit ungleich Null ist.

Was ist die Ursache für diese nicht-verschwindende Krümmung der Raumzeit?

Im Newtonschen Gravitationsgesetz entsteht Gravitation durch die Anwesenheit von Masse. Man muss also versuchen, das Newtonsche Gravitationsgesetz durch eine koordinaten-unabhängige (tensorielle) Beziehung zwischen Materie und Raum-Zeit-Krümmung zu verallgemeinern, so dass sich im nichtrelativistischen Grenzfall wieder das Newtonsche Gravitationsgesetz ergibt.

Es ist keineswegs einfach, diese Verallgemeinerung zu finden, und auch Einstein hat dafür einige Zeit benötigt. So erinnert sich Einstein im Juni 1933 an die Jahre vor 1915:

Aber das ahnungsvolle, Jahre währende Suchen im Dunkeln mit seiner gespannten Sehnsucht, seiner Abwechslung von Zuversicht und Ermattung und seinem endlichen Durchbrechen zur Klarheit, das kennt nur, wer es selber erlebt hat.

Man kann das verallgemeinerte Gravitationsgesetz nicht streng ableiten oder beweisen, sondern man kann nur intelligent raten, wie es aussehen sollte, und dann die physikalischen Konsequenzen des gefundenen Gesetzes untersuchen und letztlich im Experiment verifizieren. Die folgende Darstellung orientiert sich u.a. an Kapitel 4 Einstein field equations in Matt Visser: notes on general relativity, Math 465, im Folgenden mit [MV] abgekürzt (ich konnte den Text leider im Internet nicht mehr wiederfinden). Die Rechnungen werde ich dabei nicht im Detail hier wiederholen, sondern ggf. kurz inhaltlich zusammenfassen.

Das Newtonsche Gravitationsgesetz für das Gravitationspotential $\varphi$ lautet für eine Massendichte $\rho$ allgemein $$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )=4\pi G_N\rho$$ mit der Gravitationskonstante $G_N$ (das tiefergestellte $N$ steht für Newton und dient zur Unterscheidung vom Einstein-Tensor $G$, den wir bald benötigen).

Bei einer punktförmigen Materieansammlung der Gesamtmasse $M$ im Koordinaten-Nullpunkt ergibt sich nach dem Integralsatz von Stokes bei Integration über ein Kugelvolumen $B(r)$ mit Radius $r$ bzw. Integration über die Kugeloberfläche $\delta B(r)$ dann für die linke Seite Folgendes: $${\int }_{B(r)}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )dV=$$ $$={\int }_{\delta B(r)}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )\mathit{d}\mathit{A}=$$ $$=|\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi |4\pi r^2$$ Für die rechte Seite erhalten wir $${\int }_{B(r)}4\pi G_N\rho dV=:4\pi G_{N}M$$ Vergleich beider Seiten ergibt: $$|\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi |=G_N\frac{M}{r^2}$$ und mit $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi =-\mathit{F}/m$ somit das bekannte Newtonsche Gravitationsgesetz.

Wie kann man nun versuchen, die obige nichtrelativistische Gleichung $$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )=4\pi G_N\rho$$ (also das Newtonsche Gravitationsgesetz) relativistisch zu verallgemeinern?

Bei der beschleunigten Rakete hatten wir gesehen, dass die Gravitationsbeschleunigung (also klassisch die Gravitationskraft) durch das Christoffelsymbol ${\mathrm{\Gamma }}_{00}^3$ entsteht, wenn die Rakete in $x^3$-Richtung beschleunigt (siehe Kapitel 5.2 Das Einsteinsche Äquivalenzprinzip ).

Das lässt sich auch ganz allgemein für die Beschleunigung eines zuvor ruhenden Objektes zeigen (siehe [MV] Kapitel 3.3). Also muss im nichtrelativistischen Grenzfall ${\mathrm{\Gamma }}_{00}^i$ proportional zur klassischen Gravitationsbeschleunigung $(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi {)}^i$ sein.

Das Newtonsche Gravitationsgesetz enthält nun wiederum zweite Ableitungen des Gravitationspotentials $\varphi$, was ersten Ableitungen der Christoffelsymbole entspricht. Die linke Seite $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )$ wird beim verallgemeinerten Gravitationsgesetzes also vermutlich Christoffelsymbole (wollen wir nicht ausschließen) und erste Ableitungen dieser Symbole enthalten. Welche koordinatenunabhängigen Objekte (Tensoren), die sich so bilden lassen, kommen für das verallgemeinerte Gravitationsgesetz in Frage?

Zur Klärung dieser Frage ist es nützlich, sich zunächst Raumbereiche anzusehen, in denen sich keine Materie oder irgendwelche Energieformen (z.B. Licht) befinden. Das bedeutet nicht, dass in diesen Raumbereichen keine Gravitation herrscht, denn die gravitationserzeugende Materie kann sich ja außerhalb des betrachteten Raumbereichs befinden. So könnten wir uns beispielsweise für den materiefreien Raum um einen Stern herum interessieren (zumindest wollen wir ihn als weitgehend materiefrei ansehen).

Das Newtonsche Gravitationsgesetz für leere Raumbereiche lautet $$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )=0$$ Wir suchen nun einen geeigneten Tensor, der erste Ableitungen der Christoffelsymbole enthält und der an die Stelle der linken Seite dieser Gleichung tritt (der also für leere Raumbereiche gleich Null ist). Zum Glück gibt es nicht allzuviele Kandidaten, denn die Bedingung, dass ein Tensor entstehen muss (der in Koordinatendarstellung das entsprechende Transformationsverhalten bei Koordinatenwechseln aufweisen muss), schränkt die Kombinationsmöglichkeiten erheblich ein. Schauen wir uns die Kandidaten der Reihe nach an:

Der Riemannsche Krümmungstensor

Den Riemannschen Krümmungstensor hatten wir in Krümmung bereits ausführlich diskutiert. Hier eine kurze Wiederholung:

Der Riemannsche Krümmungstensor $$R_{\nu \rho \sigma }^{\mu }$$ kann koordinatenfrei als Abbildung $R(u,v)$ definiert werden, so dass der Ausdruck $$R(u,v)w$$ ein Tangentialvektor ist. Dabei gibt $R(u,v)w$ (geeignet normiert) an, wie sich der Tangentialvektor $w$ verändert, wenn er entlang eines durch $u$ und $v$ aufgespannten infinitesimalen Rechtecks im Kreis paralleltransportiert wird. In Komponenten ausgeschrieben ist $$[R(u,v)w{]}^{\mu }=$$ $$=\sum _{\nu \rho \sigma }{R}_{\nu \rho \sigma }^{\mu }{w}^{\nu }{u}^{\rho }{v}^{\sigma }$$ und es gilt $$R_{\nu \rho \sigma }^{\mu }=\frac{\mathrm{\partial }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma \nu }^{\mu }}{\mathrm{\partial }{x}^{\rho }}-\frac{\mathrm{\partial }{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \nu }^{\mu }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}+$$ $$+\sum _{\alpha }({\mathrm{\Gamma }}_{\rho \alpha }^{\mu }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma \nu }^{\alpha }-{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma \alpha }^{\mu }{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \nu }^{\alpha })$$ d.h. der Krümmungstensor enthält wie gewünscht erste Ableitungen der Christoffelsymbole. Man erkennt, dass $R_{\nu \rho \sigma }^{\mu }$ antisymmetrisch in den letzten beiden Indices ist.

Ist dieser Tensor ein geeigneter Kandidat, den wir in materiefreien Raumbereichen gleich Null setzen können, auch wenn Gravitation vorliegt?

Aus dem letzten Kapitel wissen wir, dass dies bedeuten würde, dass sich überall im materiefreien Raumbereich ein einziges Inertialsystem einführen ließe, so dass in dem Raumbereich keinerlei Gravitation herrschen würde. Die Christoffelsymbole wären in diesem Koordinatensystem alle im gesamten materiefreien Raumbereich gleich Null. Das würde viel zu weit gehen, denn wir könnten beispielsweise die Gravitation im leeren Raum um einen Stern herum nicht beschreiben. Der Riemannsche Krümmungstensor ist also kein geeigneter Kandidat für das verallgemeinerte Gravitationsgesetz!

Der Ricci-Tensor

Den Ricci-Tensor hatten wir bereits am Ende des letzten Kapitels kennengelernt. Man gewinnt ihn aus dem Riemannschen Krümmungstensor durch Kontraktion des ersten mit dem dritten Index: $$R_{\nu \sigma }:=\sum _{\mu }{R}_{\nu \mu \sigma }^{\mu }$$ Entsprechend schreiben wir $$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(w,v):=\sum _{\nu \sigma }{R}_{\nu \sigma }{w}^{\nu }{v}^{\sigma }$$ Dieser Ausdruck hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Im letzten Kapitel hatten wir deshalb auch die folgende koordinatenfreie Formulierung kennengelernt: $$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(w,v):=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(R(,v)w)$$ Ohne Torsion (was in unserem Fall zutrifft) ist der Ricci-Tensor symmetrisch (analog zur Metrik). In 2 und 3 Dimensionen reicht der Ricci-Tensor zur Beschreibung der Krümmung vollständig aus. In 4 Dimensionen (also auch in der Raumzeit) benötigt man zur vollständigen Charakterisierung der Krümmung allerdings den Riemannschen Krümmungstensor von oben. Und genau das ist hier von Vorteil, denn in der vierdimensionalen Raumzeit ist demnach der Krümmungstensor durch den Ricci-Tensor nicht eindeutig festgelegt.

Wenn wir also für materiefreie Raumbereiche $R_{\nu \sigma }=0$ fordern würden, so kann die Krümmung dennoch ungleich Null sein und Gravitation könnte damit auch in materiefreien Raumbereichen durch eine nicht-verschwindende Krümmung beschrieben werden. Daher kommt der Ricci-Tensor als Kandidat für das verallgemeinerte Gravitationsgesetz in Frage.

Andere Kontraktionen des Krümmungstensors

Man kann sich natürlich fragen, warum man oben ausgerechnet den ersten mit dem dritten Index im Riemannschen Krümmungstensor kontrahiert.

Wegen der Antisymmetrie in den letzten beiden Indices hätte man auch den ersten mit dem vierten Index kontrahieren können. Das Ergebnis wäre der Ricci-Tensor mit negativem Vorzeichen, also nichts wesentlich Neues.

Man hätte auch den ersten mit dem zweiten Index kontrahieren können: $$S_{\rho \sigma }:=\sum _{\mu }{R}_{\mu \rho \sigma }^{\mu }$$ Dieser Tensor ist in der allgemeinen Relativitätstheorie gleich Null (siehe [MV2] Kapitel 3.6 Riemann curvature S.58) und spielt daher keine Rolle. So ist es offenbar auch mit anderen Kontraktionen: Aufgrund der Symmetrien des Riemannschen Krümmungstensors (Bianchi-Identitäten etc.) sind sie entweder Null oder im Wesentlichen gleich dem Ricci-Tensor.

Der Weyl-Tensor

Aufgrund der Symmetrien hat der Riemannsche Krümmungstensor in 4 Dimensionen nur 20 unabhängige Komponenten. Davon kann man 10 unabhängige Komponenten dem obigen Ricci-Tensor zuordnen. Die anderen 10 unabhängigen Komponenten wiederum kann man dem sogenannten Weyl-Tensor zuordnen (siehe [MV2] Kapitel 6.8 The Weyl tensor – Details lasse ich hier weg). Man könnte also alternativ zum Ricci-Tensor auch den Weyl-Tensor als Kandidaten für das verallgemeinerte Gravitationsgesetz in Betracht ziehen. Auch hier könnte man in materiefreien Raumbereichen diesen Tensor gleich Null setzen und behielte noch Freiheitsgrade im Krümmungstensor, um die Gravitation in diesem Raumbereich zu beschreiben. Dies wurde im Rahmen von Nordstroms konform-flachen Modell in den Jahren bis etwa 1920 tatsächlich auch versucht.

Der Weyl-Tensor hat nun eine charakteristische Eigenschaft: Führt man eine konforme Transformation der Koordinaten durch (d.h. in neuen Koordinaten ist die metrische Matrix gleich der alten metrischen Matrix mal einer positiven Konstanten ${\mathrm{\Omega }}^2$), so ist auch der Weyl-Tensor in neuen Koordinaten gleich dem Weyl-Tensor in alten Koordinaten multipliziert mit ${\mathrm{\Omega }}^2$.

Man kann nun zeigen: Wenn der Weyl-Tensor in einem Raumbereich gleich Null ist, so ist der Raum dort konform-flach, d.h. die Metrik ist gleich der Minkowski-Metrik, multipliziert mit ${\mathrm{\Omega }}^2$.

Nun werden Lichtstrahlen durch Geodäten dargestellt, bei denen der Tangentialvektor $u$ überall Metrik gleich Null hat: $g(u,u)=0$ (man spricht deshalb auch von Null-Geodäten). Diese Aussage ändert sich auch durch Umparametrisierungen nicht. Der Kurvenparameter ist bei solchen lichtartigen Kurven natürlich nicht gleich der Eigenzeit, da diese für diese Kurven nicht definiert ist – Licht altert nicht!

Man kann nun zeigen, dass in konform-flachen Räumen die Null-Geodäten (also Lichtstrahlen) genauso außehen wie im Minkowskiraum der speziellen Relativitätstheorie, d.h. es gibt keine Lichtablenkung durch die Gravitation. Das aber widerspricht den experimentellen Resultaten, d.h. Nordstroms konform-flaches Modell und damit der Weyl-Tensor scheiden als Kandidaten für das verallgemeinerte Gravitationsgesetz aus!. Man sieht, wie komplex die Sache im Detail ist und welche Möglichkeiten es gibt. Einsteins verallgemeinertes Gravitationsgesetz liegt also keineswegs wie selbstverständlich auf der Hand. Kein Wunder, dass es auch Einstein nicht leicht fiel, es zu finden.

Der Ricci-Skalar

Auch den Ricci-Skalar hatten wir am Ende des letzten Kapitels bereits kennengelernt. Mit Hilfe der inversen metrischen Matrix kann man nämlich die Spur über die Indices des Ricci-Tensors bilden und so den Ricci-Skalar (auch skalare Krümmung genannt) definieren: $$R:=\sum _{\nu \sigma }{g}^{\nu \sigma }{R}_{\nu \sigma }=:{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}}_g(\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c})$$ wobei das kleine $g$ bei der Spur unten andeutet, dass vor der Spurbildung der erste Index mit der Metrik hochgezogen wird. Für die Definition des Ricci-Skalars benötigt man also eine Metrik! Der Ausdruck für $R$ hängt nicht vom Koordinatensystem ab. In 2 Dimensionen (also bei Flächen) reicht der Ricci-Skalar zur Beschreibung der Krümmung vollständig aus, aber nicht mehr in 3 Dimensionen.

In materiefreien Raumbereichen wäre dann der Ricci-Skalar gleich Null zu setzen. Das würde jedoch für den Krümmungstensor noch sehr viele Freiheiten bedeuten und führt zu sehr merkwürdigen Lösungen für die Raum-Zeit-Geometrie der materiefreien (aber nicht gravitationsfreien) Raumzeit ([MV] erwähnt z.B. sogenannte traversable wormhole solutions). Solche Lösungen sind nicht möglich, wenn wir den Ricci-Tensor gleich Null setzen.

Fazit:
Wenn man sich die verschiedenen Möglichkeiten ansieht, so gelangt man zu dem Schluss, dass der Ricci-Tensor am geeignetsten erscheint, um die linke Seite des Newtonschen Gravitationsgesetzes $$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )=4\pi G_N\rho$$ zu verallgemeinern. Im materiefreien Raum wäre dann den Ricci-Tensor gleich Null, was genau das richtige Maß an Freiheit für den Krümmungstensor erlaubt. Weiter unten werden wir sehen, dass wir damit fast richtig, aber dennoch nicht ganz richtig geraten haben. Mehr dazu später.

Der Energie-Impuls-Tensor

Kommen wir zur rechten Seite des Newtonschen Gravitationsgesetzes $$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )=4\pi G_N\rho$$ Wie können wir die Materiedichte $\rho$ so verallgemeinern, dass sich eine sinnvolle tensorielle Gleichung ergibt?

Eine sehr schöne Darstellung dazu habe ich in [MV] Kapitel 4.3 ff. gefunden:

Gravitation beschreibt in der allgemeinen Relativitätstheorie die Tatsache, dass man kein großräumiges Inertialsystem einführen kann, in dem sich alle frei fallenden Objekte unbeschleunigt bewegen. Es liegt daher nahe, sich die Bewegung zweier frei fallender Körper anzusehen und zu untersuchen, wie die Flugbahnen auseinander laufen. Um die Diskussion einfach zu halten, nehmen wir an, dass die beiden Körper sehr dicht beieinander starten.

In der Newtonschen Physik sieht das Ganze dann so aus:
Zwei frei fallende Teilchen (oder sonstige Objekte) bewegen sich auf zwei eng benachbarten Flugbahnen $\mathit{x}(t)$ und $\mathit{y}(t)$. Es gelten im Gravitationspotential $\varphi$ die Bewegungsgleichungen $$\frac{d^2}{d{t}^2}\mathit{x}(t)=-\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi (\mathit{x}(t))$$ $$\frac{d^2}{d{t}^2}\mathit{y}(t)=-\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi (\mathit{y}(t))$$ Wir wollen dabei annehmen, dass die beiden Teilchen so leicht sind, dass die Gravitation zwischen ihnen keine Rolle spielt. Nur das äußere Gravitationspotential soll ihre freie Fallbewegung steuern. Stellen Sie sich gerne zwei Satelliten auf eng benachbarten Flugbahnen vor, die die Erde umkreisen.

Der kleine Abstand $$\mathit{d}\mathit{x}(t)=\mathit{y}(t)-\mathit{x}(t)$$ zwischen den beiden Teilchen entwickelt sich demnach im Gravitationspotential zeitlich so: $$\frac{d^2}{d{t}^2}\mathit{d}\mathit{x}(t)=$$ $$=\frac{d^2}{d{t}^2}(\mathit{y}(t)-\mathit{x}(t))=$$ $$=-\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(\varphi (\mathit{y}(t))-\varphi (\mathit{x}(t)))=$$ $$=-\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}((\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi (\mathit{x}(t))\mathit{d}\mathit{x}(t))+...)$$ wobei wir bei den eng benachbarten Teilchen in erster Ordnung die Näherung $$\varphi (\mathit{y}(t))-\varphi (\mathit{x}(t))=$$ $$=(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi (\mathit{x}(t))\mathit{d}\mathit{x}(t))+...$$ verwendet haben.

Wenn wir unser Ergebnis in Komponenten ausschreiben und damei die Abkürzung $$K_j^i:=\frac{{\mathrm{\partial }}^2\varphi }{\mathrm{\partial }{x}^i\mathrm{\partial }{x}^j}$$ verwenden, so haben wir: $$\frac{d^2}{d{t}^2}d{x}^i(t)=-\sum _j{K}_j^{i}d{x}^j(t)+...$$ Andererseits ist $$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(K)=\sum _i{K}_i^i=\sum _i\frac{{\mathrm{\partial }}^2\varphi }{(\mathrm{\partial }{x}^i{)}^2}=$$ $$=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )=4\pi G_N\rho$$ Diese Gleichung verbindet also den Gezeitenkräfte-Tensor $K$ mit der Anwesenheit von Materie in der Newtonschen Gravitationstheorie.

Analog kann man auch in der allgemeinen Relativitätstheorie vorgehen. An die Stelle der obigen Bewegungsgleichungen treten die Geodätengleichungen mit den Christoffelsymbolen. Nach längerer Rechnung (siehe [MV] Kapitel 4.4) ergibt sich: $$\frac{d^2}{d{\tau }^2}d{x}^{\mu }(\tau )=-\sum _{\sigma }{K}_{\sigma }^{\mu }d{x}^{\sigma }(\tau )+...$$ mit $$K_{\sigma }^{\mu }:=-\sum _{\nu \rho }{R}_{\nu \rho \sigma }^{\mu }{u}^{\nu }{u}^{\rho }$$ wobei $u$ der Tangentialvektor (Vierer-Geschwindigkeitsvektor) der Bewegung eines der Teilchen ist (egal welches, da sie auf sehr ähnlichen Flugbahnen fliegen sollen) und $\tau$ entsprechend die zugehörige Eigenzeit ist.

[MV] bezeichnet die obige Gleichung auch als equation of geodesic deviation. Man sieht schön, dass der Krümmungstensor hier die Ursache für das Auseinanderlaufen der Geodäten ist. In John Baez, Emory Bunn: The Meaning of Einstein's Equation (auch unter arXiv:gr-qc/0103044), wird diese Gleichung ebenfalls hergeleitet, allerdings direkt (ohne lange Rechnung) mit Hilfe der geometrischen Definition des Krümmungstensors durch Parallelverschiebung entlang eines infinitesimalen Rechtecks (siehe oben sowie Krümmung).

Die relativistische Gleichung sieht ganz analog zur Gleichung der Newtonschen Physik aus. Sie sollte im nichtrelativistischen Grenzfall bei schwacher Gravitation in letztere übergehen (die metrische Matrix, speziell $g_{00}$ liefert dabei das Analogon zum Potential $\varphi$). Das sieht schon mal gut aus.

Was uns aber noch fehlt, ist das relativistische Analogon zur nichtrelativistischen Gleichung $$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(K)=4\pi G_N\rho$$ die das Newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt. Wir wollen daher für das relativistische Analogon den folgenden Ansatz machen: $$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(K)=4\pi G_N\rho (u)$$ Dabei ist $\rho (u)$ die relativistisch verallgemeinerte Materiedichte, wie sie ein Beobachter messen würde, der sich mit Vierergeschwindigkeit $u$ bewegt – was das bedeuten soll, müssen wir uns gleich noch überlegen.

Die linke Seite können wir schon mal ausrechnen (wobei wir die Antisymmetrie des Krümmungstensors in den letzten beiden Indices verwenden): $$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(K)=$$ $$=-\sum _{\mu \nu \rho }{R}_{\nu \rho \mu }^{\mu }{u}^{\nu }{u}^{\rho }=$$ $$=\sum _{\mu \nu \rho }{R}_{\nu \mu \rho }^{\mu }{u}^{\nu }{u}^{\rho }=$$ $$=\sum _{\nu \rho }{R}_{\nu \rho }{u}^{\nu }{u}^{\rho }=$$ $$=\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(u,u)$$ so dass unser Ansatz für ein verallgemeinertes Gravitationsgesetz lautet: $$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(u,u)=4\pi G_N\rho (u)$$ Das passt sehr gut zu unserer Überlegung weiter oben, in der wir den Ricci-Tensor für materiefreie Raumbereiche gleich Null setzen wollten. Genau das erhalten wir, wenn wir in unserem Ansatz jetzt $\rho (u)$ gleich Null setzen und für $u$ beliebige Geschwindigkeiten zulassen.

Bisher ist unser langsames Vortasten in Richtung eines relativistischen Gravitationsgesetzes zumindest konsistent. Bleibt die Frage: Was ist $\rho (u)$ nun genau?

In der nichtrelativistischen Newtonschen Physik war $\rho$ eine Massendichte. Ist zu erwarten, dass in der allgemeinen Relativitätstheorie ebenfalls nur Massen ein Gravitationsfeld erzeugen? Das wäre sehr merkwürdig, da schon in der speziellen Relativitätstheorie (träge) Masse in Energie umgewandelt werden kann. Angenommen, wir haben ein massives Teilchen vor uns, z.B. ein neutrales Pion. Dieses kann spontan in zwei masselose Photonen zerfallen. Wenn Gravitation nur von massiven Teilchen erzeugt würde, so würde diese Gravitation beim Zerfall des Teilchens in masselose Objekte plötzlich ausgeschaltet, was ziemlich unplausibel klingt. Plausibler wäre es, wenn auch bezüglich der Gravitationserzeugung Energie und Masse gleichwertig zueinander wären, so wie dies bezüglich der Trägheit bereits aufgrund der speziellen Relativitätstheorie der Fall ist. Die beiden Photonen, die beim Zerfall des Pions entstehen, sollten also genauso wie das Pion zuvor auch ein Gravitationsfeld erzeugen.

Massen- und Energiedichten werden in der speziellen Relativitätstheorie nicht durch eine skalare Funktion, sondern durch den sogenannten Energie-Impuls-Tensor dargestellt. Nur so kann man die relativistischen Zusammenhänge zwischen Massendichten, Energiedichten und Impulsen sowie deren Flüsse korrekt darstellen (wir gehen weiter unten noch genauer darauf ein).

Das passt gut zur obigen Gleichung $$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(u,u)=4\pi G_N\rho (u)$$ denn auch aufgrund dieser Gleichung ist es naheliegend, für $\rho (u)$ einen Tensoransatz zu machen: $$\rho (u)c^4=:T(u,u)$$ mit einem Tensor $T$, der genau wie der Ricci-Tensor aus zwei Tangentialvektoren $u$ und $v$ eine reelle Zahl (nämlich $T(u,v)$ ) macht.

Wir wollen annehmen, dass dieser symmetrische Tensor gerade der Energie-Impuls-Tensor ist (deshalb der Faktor $c^4$, denn so erreichen wir, dass $T_{00}$ die Dimension einer Energiedichte hat, wie wir gleich sehen werden).

In Komponenten schreiben wir wieder $$T(u,v)=\sum _{\mu \nu }{T}_{\mu \nu }{u}^{\mu }{v}^{\nu }$$ so dass wir für unseren Ansatz für das verallgemeinertes Gravitationsgesetz die Gleichung $$R_{\mu \nu }=\frac{4\pi G_N}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$ erhalten. Wir werden etwas weiter unten noch sehen, dass wir hier noch eine kleine Änderung einbauen müssen. Zunächst aber wollen wir uns den Energie-Impuls-Tensor genauer ansehen:

Der Energie-Impuls-Tensor von Staub

Die einfachste Form einer Materieverteilung, die Gravitation erzeugen kann, bezeichnen wir als Staub. Darunter stellen wir uns eine Wolke kleiner Staubkörnchen vor, die sich in einem bestimmten Bezugssystem alle in Ruhe befinden. Diese Aussage macht natürlich streng genommen nur lokal Sinn. Wir werden daher im folgenden immer nur kleine Raumbereiche separat betrachten, so dass wir in diesen Raumbereichen Riemannsche Normalkoordinaten einführen können und die metrische Matrix in diesen Koordinaten annähernd die Minkowski-Matrix ist. Wir setzen uns damit in das lokale momentane Ruhe-Inertialsystem eines kleinen Teils der Staubwolke.

Nun lassen wir in diesem Ruhesystem des Staubes zwei Testteilchen an eng benachbarten Stellen los und betrachten, wie ihre Bahnen aufgrund der Gravitation auseinanderdriften. Im Moment des Loslassens sollen die Teilchen in Ruhe sein, d.h. im Ruhesystem des Staubes gilt für die Vierergeschwindigkeiten $u$ der beiden Teilchen $$u=\left(\begin{array}{c}c\\ \mathbf{0}\end{array}\right)$$ Wenn wir von schwachen Gravitationsfeldern ausgehen, haben wir damit den nichtrelativistischen Grenzfall: Gravitationsquelle (Staub) und Testteilchen ruhen am Anfang relativ zueinander. Der Ausdruck $$\rho (u)=\frac{1}{c^4}T(u,u)$$ müsste also in die nichtrelativistische Massendichte $\rho$ aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz übergehen.

Setzen wir das obige Start-$u$ in $\rho (u)$ ein, so ergibt das $$\rho \left(\left(\begin{array}{c}c\\ \mathbf{0}\end{array}\right)\right)=$$ $$=\frac{1}{c^4}T(\left(\begin{array}{c}c\\ \mathbf{0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}c\\ \mathbf{0}\end{array}\right))=$$ $$=\frac{1}{c^2}{T}_{00}$$ d.h. es muss $$T_{00}=\rho c^2$$ sein.

Und das ist auch schon alles! Alle anderen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors sind im Ruhesystem des Staubes Null! Letztlich wird der Begriff Staub genau durch diese Eigenschaft des Energie-Impuls-Tensors definiert.

Wie wir gleich sehen werden, bedeutet das, dass kein Druck sowie keine Kräfte zwischen den Staubteilchen vorliegen (Staub ist also nicht mit einem Gas zu verwechseln).

Nun können wir auch leicht die Massen-Energie-Dichte ausrechnen, die auf Testteilchen wirkt, die sich mit Vierergeschwindigkeit $$u=\left(\begin{array}{c}\gamma c\\ \gamma \mathit{v}\end{array}\right)$$ im lokalen Ruhesystem des Staubes bewegen: $$\rho (u)=\frac{1}{c^4}T(u,u)=$$ $$=\frac{1}{c^4}{T}_{00}{u}^0{u}^0=\frac{1}{c^2}\rho u^0{u}^0=$$ $$=\rho {\gamma }^2$$ Wir sehen hier sehr schön, dass die Massen/Energie-Dichte $\rho$ keine skalare Funktion ist: Betrachtet man sie aus dem mit Vierergeschwindigkeit $u$ bewegten Bezugssystem, so nimmt sie um den Faktor ${\gamma }^2$ zu.

Ein Faktor $\gamma$ repräsentiert dabei die Zunahme der kinetischen Energie der Staubteilchen, die ja aus dem mit $u$ bewegten Bezugssystem heraus ebenfalls bewegt erscheinen.

Der andere Faktor $\gamma$ repräsentiert die Lorentz-Kontraktion des Raumes: Der Raum erscheint in Bewegungsrichtung um den Faktor $1/\gamma$ verkürzt, und die Staubteilchen drängen sich entsprechend auf weniger Raum zusammen, was die Energiedichte erhöht.

Zum Vergleich: eine ruhende elektrische Ladungsdichte ${\rho }_e$ wird aus einem mit $u$ bewegten Bezugssystem betrachtet nur um den Faktor $\gamma$ zuzunehmen. Dort wirkt sich nur die Lorentzkontraktion aus; die Ladungen selber werden (anders als die Energie eines Teilchens) bei zunehmender Geschwindigkeit nicht größer. Daher ist die elektrische Ladungsdichte auch die Null-Komponente eines Vierervektors (die Vierer-Stromdichte), die Massen-Energie-Dichte dagegen die Null-Null-Komponente eines Tensors mit 2 Indizes (der Energie-Impuls-Tensor).

Natürlich kann man den Energie-Impuls-Tensor in jedes andere Bezugssystem umrechnen, denn das Transformationsverhalten ist ja durch die Tensoreigenschaft festgelegt: $T(u,v)$ darf nicht vom Bezugssystem abhängen. Wir wollen hier noch nicht genauer darauf eingehen (Details folgen später).

Eine Eigenschaft des Energie-Impuls-Tensors ist noch wichtig: es gilt in der speziellen Relativitätstheorie für jeden Energie-Impuls-Tensor allgemein die Gleichung $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }=0$$ Dabei wurden die Indizes mit Hilfe der metrischen Matrix nach oben gezogen. Was diese Gleichung bedeutet, sehen wir weiter unten. Für den Energie-Impuls-Tensor von Staub können wir die Gleichung lokal im Ruhesystem des Staubes auswerten. Da nur $T_{00}=T^{00}=\rho c^2$ ungleich Null ist, ergibt sich: $$\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^0}{T}^{00}=c\frac{d\rho }{dt}=0$$ Im Ruhesystem der Staubkörnchen ändert sich also deren Massen-Energie-Dichte nicht. Das ist unmittelbar einleuchtend, denn wenn die Staubkörnchen sich nicht bewegen (ist ja das Ruhesystem), so ändert sich auch ihre räumliche Massenverteilung nicht.

Der Energie-Impuls-Tensor einer reibungsfreien Flüssigkeit (Gas)

Betrachten wir einen Energie-Impuls-Tensor $T^{\mu \nu }$ (Indices mit der metrischen Matrix hochgezogen), der in einem lokalen frei fallenden Inertialsystem die folgende Gestalt hat: $T^{\mu \nu }$ ist eine Diagonalmatrix mit $T_{00}=\rho c^2$ (wie bei Staub) und $T_{kk}=p$, also $$(T^{\mu \nu })=\left(\begin{array}{cccc}\rho c^2& 0& 0& 0\\ 0& p& 0& 0\\ 0& 0& p& 0\\ 0& 0& 0& p\end{array}\right)$$ Natürlich stellt sich die Frage: Welche Bedeutung hat $p$ (der Buchstabe deutet es bereits an: $p$ steht für den Druck)?

Dazu müssen wir uns einige generelle Gedanken über die Bedeutung der Komponenten $T^{\mu \nu }$ in der speziellen Relativitätstheorie machen (also in karthesischen Minkowskikoordinaten). Siehe dazu z.B. Feynman Vorlesungen über Physik, Band II Elektromagnetismus und Struktur der Materie oder Landau, Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band II: Klassische Feldtheorie, §32 Der Energie-Impuls-Tensor.

Wie oben bereits erwähnt, fordern wir für jeden Energie-Impuls-Tensor in der speziellen Relativitätstheorie in karthesischen Minkowskikoordinaten allgemein die Gleichung $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }=0$$ (warum, sehen wir später). Wir betrachten nun im vierdimensionalen Minkowskiraum alle Raum-Zeit-Punkte in einem bestimmten Zeitintervall und nennen die Menge dieser Raum-Zeit-Punkte $V$. Anschaulich kann man sich einen vierdimensionalen Würfel in der Raumzeit vorstellen, bei dem man die drei Intervalle der räumlichen Koordinaten immer größer werden lässt und das zeitliche Intervall festhält. $V$ ist also eine Zeitscheibe der Raumzeit mit einer bestimmten Zeitdicke.

Bei der Größe $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }$$ wollen wir deren Volumenintegral über die Zeitscheibe $V$ bilden: $${\int }_V\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }dV=:$$ $$={\int }_V(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}{T}^{(\mu )})dV$$ wobei $T^{(\mu )}$ der Tangentialvektor mit Komponenten $T^{\mu \nu }$ ist. In koordinatenunabhängiger Schreibweise wäre das $$(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}{T}^{(\mu )})dV=d\star {\omega }^{T^{(\mu )}}$$ ist mit der 1-Form $${\omega }^{T^{(\mu )}}=\sum _{\nu }{T}_{\nu }^{\mu }d{x}^{\nu }$$ und dem Hodge-Sternoperator, der daraus eine 3-Form macht (siehe die Definition der Divergenz in Hodge-Sternoperator, Volumenform, Gradient, Divergenz, Rotation ). Wir führen im Folgenden die koordinatenunabhängige Schreibweise immer mit auf, auch wenn wir sie nicht unbedingt brauchen.

In Minkowskikoordinaten ist das Volumenelement $dV$ einfach gegeben durch $d{x}^{0}d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^3$ (das ist in der allgemeinen Relativitätstheorie in krummlinigen Koordinaten nicht so!). Der Integrand ist für jedes $\mu$ also die folgende 4-Form (zu Differentialformen siehe Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes ): $${\eta }^{(\mu )}:=\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3=$$ $$=(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}{T}^{(\mu )})dV=d\star {\omega }^{T^{(\mu )}}$$ Diese 4-Form können wir andererseits als äußere Ableitung einer 3-Form schreiben: $${\eta }^{(\mu )}=:d{\pi }^{(\mu )}$$ mit $${\pi }^{(\mu )}:=\sum _{\nu }{T}^{\mu \nu }d{A}_{\nu }=\star {\omega }^{T^{(\mu )}}$$ Dabei ist beispielsweise $$d{A}_0=d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3$$ Nach dem Integralsatz von Stokes gilt nun $${\int }_V{\eta }^{(\mu )}={\int }_{V}d{\pi }^{(\mu )}={\int }_{\delta V}{\pi }^{(\mu )}=...$$ Das letzte Integral geht dabei über den Rand der Zeitscheibe $V$. Wir wollen nun annehmen, dass zu jeder Zeit im Räumlich-Unendlichen der Energie-Impuls-Tensor hinreichend schnell gegen Null geht (was bei einer räumlich lokalisierten Materie-Energie-Verteilung selbstverständlich ist), so dass die Randintegrale über die räumlich unendlich fernen Randräume mit zwei Orts- und einer Zeitkoordinate gleich Null sind. Es bleiben dann nur die beiden Randraum-Integrale mit drei Ortskoordinaten und fester Zeitkoordinate übrig: $$...={\int }_{{\mathbb{R}}^3}{\pi }^{(\mu )}{|}_{x_0=c{t}^{\prime }}-{\int }_{{\mathbb{R}}^3}{\pi }^{(\mu )}{|}_{x_0=ct}$$ Nun ist aber $\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }=0$, d.h. ${\eta }^{(\mu )}=0$ und somit auch $${\int }_V{\eta }^{(\mu )}={\int }_{{\mathbb{R}}^3}{\pi }^{(\mu )}{|}_{x_0=c{t}^{\prime }}-{\int }_{{\mathbb{R}}^3}{\pi }^{(\mu )}{|}_{x_0=ct}=0$$ Die beiden Integrale zur Zeit $t$ bzw. $t^{\prime }$ müssen also gleich groß sein, und da $t$ und $t^{\prime }$ beliebig sind, bedeutet das, dass das Integral   ${\int }_{{\mathbb{R}}^3}{\pi }^{(\mu )}$ nicht von der Zeit abhängt.

Da dieses Integral über einen Raum mit konstanter Zeit geht, trägt nur der Term mit $d{A}_0=d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3$ zum Integral bei: $${\int }_{{\mathbb{R}}^3}{\pi }^{(\mu )}={\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{\mu 0}d{A}_0=$$ $$={\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{\mu 0}d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^3=:$$ $$={\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{\mu 0}{d}^{3}x=:c{P}^{\mu }$$ mit dem räumlichen Volumenelement $d^{3}x=d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^3$ in karthesischen Koordinaten. Den Faktor $c$ haben wir eingefügt, damit $P^{\mu }$ die Dimension eines Impulses hat. Tatsächlich können wir $P^{\mu }$ mit dem Gesamt-Viererimpuls der betrachteten Massen-Energie-Verteilung ansehen, wenn wir $T^{00}$ als Energiedichte der Verteilung interpretieren, denn dann ist $$c{P}^0={\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{00}{d}^{3}x$$ die Gesamtenergie der Verteilung, und da $P^{\mu }$ wegen des Tensorcharakters von $T^{\mu \nu }$ ein Vierervektor ist, muss $P^i$ mit $i$ = 1, 2, 3 der zugehörige räumliche Gesamtimpuls des Systems sein – nur so ist gesichert, dass z.B. eine ruhende Gesamtmasse nach einem Boost auch einen passenden Gesamt-Impuls besitzt. Halten wir fest:

Zusammenhang zwischen Gesamtimpuls-Vierervektor und Energie-Impulstensor: In der speziellen Relativitätstheorie gilt in den karthesischen Minkowski-Koordinaten eines jeden Inertialsystems: Einen Tensor $T^{\mu \nu }$, der die Gleichung $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }=0$$ erfüllt und bei dem wir die Komponente $T^{00}$ als Energiedichte der betrachteten Masse-Energieverteilung interpretieren, bezeichnen wir als Energie-Impuls-Tensor. Der Gesamt-Viererimpuls dieser Verteilung ist dann gegeben durch $$P^{\mu }:=\frac{1}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{\mu 0}{d}^{3}x$$ Insbesondere ist $P^0$ die Gesamtenergie der Verteilung. Dieser Gesamt-Viererimpuls ist wegen $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }=0$$ zeitlich konstant. Aufgrund der obigen Volumenintegration können wir den Vierervektor mit Komponenten $T^{\mu 0}/c$ als Vierer-Impulsdichte-Vektor der Verteilung interpretieren.

Aber wie kann man die anderen Komponenten von $T^{\mu \nu }$ mit $\nu >0$ interpretieren?

Beginnen wir mit den räumlichen Komponenten $T^{0j}$ mit $j$ = 1, 2, 3 und schreiben die Gleichung $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }=0$$ für $\mu =0$ explizit aus: $$\frac{1}{c}\frac{d}{dt}{T}^{00}+\sum _{j=1}^3\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^j}{T}^{0j}=0$$ Wir können nun über ein räumliches Volumen $G$ integrieren und im zweiten Integral den Integralsatz von Stokes für dreidimensionale Räume (auch Integralsatz von Gauß genannt) anwenden: $$\frac{d}{dt}{\int }_G{T}^{00}{d}^{3}x=$$ $$=-c{\int }_{\delta G}\sum _j{T}^{0j}d{A}_j$$ (die $d{A}_j$ gehören hier zum zweidimensionalen räumlichen Flächenelement, d.h. sie sind die Komponenten des Flächenelement-Normalenvektors).

Links steht die zeitliche Veränderung der Energie bzw. Masse im Gebiet $G$, und rechts steht demnach der Energiefluss durch die Oberfläche $\delta G$ des Gebietes, denn die Gesamtenergie muss ja nach dem oben Gesagten erhalten bleiben. Daher können wir den räumlichen Vektor $$\mathit{S}:=c\left(\begin{array}{c}{T}^{01}\\ T^{02}\\ T^{03}\end{array}\right)$$ als Energiestrom pro Flächeneinheit interpretieren, ganz analog zur Flächenstromdichte $\mathit{j}$ bei Ladungsströmen.

Nun fehlt nur noch die Interpretation der räumlichen Komponenten $T^{ij}$ mit $i$ = 1, 2, 3 und $j$ = 1, 2, 3. Auch hier können wir wie gerade zuvor die Gleichung $$\frac{1}{c}\frac{d}{dt}{\int }_G{T}^{i0}{d}^{3}x=$$ $$-{\int }_{\delta G}\sum _j{T}^{ij}d{A}_j$$ herleiten. Da $T^{\mu 0}/c$ oben der Vierer-Impulsdichte-Vektor war, sind $T^{i0}/c$ die räumlichen Komponenten des Impulsdichte-Vektors.

Auf der linken Seite steht also die zeitliche Änderung der i-ten räumlichen Komponente des Gesamtimpulses im Gebiet $G$, und rechts steht demnach der Impulsfluss der i-ten Impulskomponente durch die Oberfläche von $G$, denn der Gesamtimpuls muss insgesamt erhalten bleiben. Daher können wir den räumlichen Vektor $${\mathit{\sigma }}^{(i)}:=\left(\begin{array}{c}{T}^{i1}\\ T^{i2}\\ T^{i3}\end{array}\right)$$ als Impulsstrom der i-ten Impulskomponente pro Flächeneinheit interpretieren. Der Ausdruck $$\sum _j{T}^{ij}d{A}_j={\mathit{\sigma }}^{(i)}\mathit{d}\mathit{A}$$ mit dem Skalarprodukt zwischen ${\mathit{\sigma }}^{(i)}$ und dem Flächenelement-Normalenvektor $\mathit{d}\mathit{A}$ ist also der durch das Flächenelement strömende Impulsfluss der i-ten Impulskomponente.

Nun kann man in vielen Fällen diesen Impulsstrom auch ganz anschaulich als eine Kraftwirkung auf das Flächenelement interpretieren. Man kann sich z.B. ein geschlossenes Gefäß vorstellen, in dem sich ein Gas befindet. Das Innere ist dann das Raumgebiet $G$, und die dünne Gefäßwand ist der Rand $\delta G$ des Raumgebietes. Schauen wir uns ein kleines Flächenelement auf der Gefäßwand mit Flächenelement-Normalenvektor $\mathit{d}\mathit{A}$ an. Die Gasmoleküle prallen auf die Gefäßwand, wodurch sich ihr Impuls ändert, d.h. es entsteht ein Impulsfluss durch die Wand. Dem entspricht eine Kraft auf die Wand, die genau der mittleren zeitlichen Änderung der Impulse der Gasmoleküle entspricht. Die Kraft pro Fläche ist gleich dem Impulsstrom pro Fläche. Daher können wir $$\sum _j{T}^{ij}d{A}_j={\mathit{\sigma }}^{(i)}\mathit{d}\mathit{A}$$ auch interpretieren als i-te Komponente der Kraft, die auf das Flächenelement $dA$ wirkt.

Man bezeichnet den 3-mal-3-Tensor $${\sigma }^{ij}={\mathit{\sigma }}^{(i),j}=T^{ij}$$ auch als Spannungstensor. Mit ihm lassen sich die inneren Kräfte z.B. in Festkörpern oder Gasen beschreiben.

Wenn ${\sigma }^{ij}$ diagonal ist mit identischen Diagonalelementen, so ist die Kraft immer parallel zum Flächenelement-Normalenvektor, also senkrecht zur Fläche. Das ist z.B. bei Gasen oder Flüssigkeiten der Fall, wenn man die Viskosität (Zähigkeit) vernachlässigt. Wenn wir in diesem Fall also $${\sigma }^{ij}=:p{\delta }^{ij}$$ schreiben, so ist die Kraft $\mathit{F}$ auf ein Flächenelement mit Flächenelement-Normalenvektor $\mathit{d}\mathit{A}$ gegeben durch $\mathit{F}=p\mathit{d}\mathit{A}$. Das ist für $p$ genau die Definition des Drucks! Genau so hatten wir den Energie-Impulstensor für eine reibungsfreie Flüssigkeit (oder ein reibungsfreies Gas) oben aufgebaut, und nun wissen wir auch, warum $p$ darin die Interpretation eines Drucks haben muss!

Es ist interessant, sich einmal die Analogien zwischen elektrischer Ladung und Energie bzw. Impuls klar zu machen – dann versteht man auch, warum man für Energie und Impuls einen Tensor braucht, für die elektrische Ladung dagegen nur einen Vierervektor:

Wir gehen zunächst einfach davon aus, dass wir für die relativistische Beschreibung elektrischer Ladungs- und Stromverteilungen einen Vierervektor $$j=(j^{\mu })=\left(\begin{array}{c}c\rho \\ \mathit{j}\end{array}\right)$$ und für die relativistische Beschreibung von Energie- und Impulsverteilungen einen Tensor $$T^{\mu \nu }$$ benötigen. Es gelten die Kontinuitätsgleichungen $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }=0$$ $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{j}^{\nu }=0$$ Aufgrund dieser Kontinuitätsgleichungen kann man (wie weiter oben gezeigt) herleiten, dass die folgenden Größen zeitlich konstant sind: $$c{P}^{\mu }:={\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{\mu 0}{d}^{3}x$$ $$cQ:={\int }_{{\mathbb{R}}^3}{j}^0{d}^{3}x$$ d.h. wir können $j^0$ als die räumliche Dichte der Größe $cQ$ und $T^{\mu 0}$ für jedes $\mu$ als die räumliche Dichte der Größe $c{P}^{\mu }$ interpretieren. Jetzt sehen wir auch, warum wir für Energie und Impuls den Index $\mu$ brauchen: nicht nur $P^0$ ist erhalten, sondern auch $P^k$. Und: Die Energie $P^0$ ist anders als die Ladung $Q$ kein Skalar, sondern die nullte Komponente eines Vierervektors, verhält sich also anders bei Bezugssystemwechseln (die Integrale rechts kann man auch invariant schreiben, indem man über einen raumartigen dreidimensionalen Schnitt durch die Raumzeit integriert). Gesamtenergie und Gesamtimpuls eines Systems müssen in der Relativitätstheorie einen zeitunabhängigen Vierervektor bilden (sofern keine äußeren Kräfte wirken)! Dies erklärt den ersten Index von $T^{\mu \nu }$. Der zweite Index ist notwendig, wenn man zu den zeitunabhängigen Gesamt-Größen die entsprechenden zeitabhängigen räumlichen Dichten und Flächenstromdichten bilden möchte, so wie dies analog bei der elektrischen Stromdichte $j^{\nu }$ der Fall ist. Dies zeigt der folgende Punkt: Man kann aus der Kontinuitätsgleichung (wie weiter oben gezeigt) die Gleichungen $$\frac{d}{dt}{\int }_G{T}^{\mu 0}{d}^{3}x=$$ $$=-c{\int }_{\delta G}\sum _k{T}^{\mu k}d{A}_k$$ $$\frac{d}{dt}{\int }_G{j}^0{d}^{3}x=$$ $$=-c{\int }_{\delta G}\sum _k{j}^{k}d{A}_k$$ ableiten ($k$ läuft von 1 bis 3). So wie wir oben $j^0$ als die räumliche Dichte der Größe $cQ$ und $T^{\mu 0}$ als die räumliche Dichte der Größe $c{P}^{\mu }$ interpretieren, so können wir aufgrund dieser Gleichungen den räumlichen Vektor $\mathit{j}=(j^k)$ als Flächenstromdichte der Größe $Q$ und den räumlichen Vektor ${\mathit{T}}^{(\mu )}:=(T^{\mu k})$ für jedes $\mu$ als Flächenstromdichte der Größe $P^{\mu }$ interpretieren.

Kommen wir noch einmal zurück zum Gesamt-Viererimpuls $$P^{\mu }:=\frac{1}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{\mu 0}{d}^{3}x$$ Diese Größe ist für eine Materie-Energie-Verteilung in einem gegebenen Inertialsystem eindeutig und wegen $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }=0$$ auch zeitunabhängig.

Es zeigt sich aber, dass verschiedene Energie-Impuls-Tensoren $T^{\mu \nu }$ zum selben gesamt-Viererimpuls $P^{\mu }$ führen können. Betrachten wir konkret den Tensor $$(T^{\prime }{)}^{\mu \nu }:=T^{\mu \nu }+\sum _{\sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}{\psi }^{\mu \nu \sigma }$$ mit Antisymmetrie in den beiden hinteren Indizes bei $\psi$, also $${\psi }^{\mu \nu \sigma }=-{\psi }^{\mu \sigma \nu }$$ Wir rechnen leicht nach, dass auch $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}(T^{\prime }{)}^{\mu \nu }=0$$ ist, denn wegen der Antisymmetrie von ${\psi }^{\mu \sigma \nu }$ in den beiden hinteren Indices und der Vertauschbarkeit der Ableitungen ist $$\sum _{\nu \sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}{\psi }^{\mu \nu \sigma }=0$$ Außerdem ist der Gesamt-Viererimpuls von $T^{\mu \nu }$ und $(T^{\prime }{)}^{\mu \nu }$ derselbe, wenn wir fordern, dass ${\psi }^{\mu 0\sigma }$ im räumlich Unendlichen (also dem unendlich fernen Rand $\delta {\mathbb{R}}^3$) so stark gegen Null geht, dass gilt (wegen der Antisymmetrie ist übrigens unten ${\psi }^{\mu 00}=0$ ): $${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\sum _{\sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}{\psi }^{\mu 0\sigma }{d}^{3}x=$$ $$={\int }_{\delta {\mathbb{R}}^3}\sum _{k=1}^3{\psi }^{\mu 0k}d{A}_k=0$$ Woher kommt nun die Mehrdeutigkeit im Energie-Impuls-Tensor? Im Grunde reicht die Formel $$P^{\mu }:=\frac{1}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{\mu 0}{d}^{3}x$$ nicht aus, um $T^{\mu 0}{d}^{3}x$ als Vierer-Impulskomponenten des Volumenelementes zu interpretieren.

Man weiß lediglich, dass die Terme über das gesamte Volumen aufintegriert den Gesamt-Viererimpuls ergeben. Wir können jedoch ein weiteres Objekt hinzunehmen; den vierdimensionalen Drehimpulstensor. Eine detaillierte Darstellung dazu findet man z.B. in Landau, Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band II: Klassische Feldtheorie. Dort wird gezeigt, dass im vierdimensionalen Drehimpulstensor sich die Terme $T^{\mu 0}{d}^{3}x$ nur dann als Vierer-Impulskomponenten des Volumenelementes interpretieren lassen, wenn der Energie-Impuls-Tensor $T^{\mu \nu }$ symmetrisch ist! Schauen wir uns das etwas genauer an:

In der speziellen Relativitätstheorie ist die Zeitunabhängigkeit des Gesamt-Viererimpulses $P^{\mu }$ eine Folge davon, dass Verschiebungen der Raum- und Zeitkoordinate die Physik des Systems nicht ändern (Translationsinvarianz). Insgesamt muss aber die Physik in der speziellen Relativitätstheorie unter einer größeren Symmetriegruppe invariant sein: der Poincarégruppe. Neben Translationen der Raum-Zeit-Koordinaten gehören dazu die Lorentztransformationen, also die linearen Transformationen der Raum-Zeit-Koordinaten, so dass sich die Minkowskimetrik von Vierervektoren nicht ändert (siehe Kapitel 3.5 Die mathematische Struktur der Poincarégruppe ). Die Invarianz unter Lorentztransformationen führt zu einer weiteren zeitlich erhaltenen Größe: dem vierdimensionalen antisymmetrischen Drehimpulstensor. Bei einem System aus Massepunkten (Teilchen) lautet dieser Tensor: $$M^{\mu \nu }:=\sum _n(x_n^{\mu }{p}_n^{\nu }-x_n^{\nu }{p}_n^{\mu })$$ Dabei kennzeichnet der Index $n$ das $n$-te Teilchen. Bei den räumlichen Komponenten erkennt man den dreidimensionalen Drehimpulsvektor $\mathit{L}$ wieder: $$L^3=M^{12}$$ usw.. Wenn wir nun zu einer kontinuierlichen Massenverteilung übergehen, so würden wir gemäß der Formel $$P^{\mu }:=\frac{1}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{\mu 0}{d}^{3}x$$ gerne den Term $$\frac{1}{c}{T}^{\mu 0}{d}^{3}x$$ als $\mu$-te Impulskomponente des Volumenelementes $d^{3}x$ interpretieren. Wenn wir das tun und diesen Term für die Impulskomponenten $p_n^{\mu }$ in der $M^{\mu \nu }$-Formel einsetzen sowie die Summe durch ein Raumintegral ersetzen, dann hätte $M^{\mu \nu }$ die Form $$M^{\mu \nu }=\frac{1}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}(x^{\mu }{T}^{\nu 0}-x^{\nu }{T}^{\mu 0})d^{3}x$$ Welche Bedingung muss der Integrand erfüllen, damit dieser Tensor zeitunabhängig ist? Vergleichen wir diesen Ausdruck mit dem zeitunabhängigen Viererimpuls $$P^{\mu }:=\frac{1}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{\mu 0}{d}^{3}x$$ Wenn wir darin $T^{\mu 0}$ durch $(x^{\mu }{T}^{\nu 0}-x^{\nu }{T}^{\mu 0})$ ersetzen, so erhalten wir den Drehimpulstensor $M^{\mu \nu }$. Nun hatten wir oben gezeigt, dass die Kontinuitätsgleichung $$\sum _{\sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}{T}^{\mu \sigma }=0$$ zur Zeitunabhängigkeit von $P^{\mu }$ führt. Analog fordern wir die Kontinuitätsgleichung $$\sum _{\sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}(x^{\mu }{T}^{\nu \sigma }-x^{\nu }{T}^{\mu \sigma })=0$$ und können vollkommen analog zum Viererimpuls die Zeitunabhängigkeit nachrechnen. Diese Gleichung können wir weiter vereinfachen, wobei wir $\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}{x}^{\mu }={\delta }_{\sigma }^{\mu }$ sowie die Kontinuitätsgleichung $\sum _{\sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}{T}^{\mu \sigma }=0$ verwenden: $$\sum _{\sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}(x^{\mu }{T}^{\nu \sigma }-x^{\nu }{T}^{\mu \sigma })=$$ $$=T^{\nu \mu }-T^{\mu \nu }=0$$ d.h. der Energie-Impuls-Tensor muss symmetrisch sein. Halten wir fest:

Symmetrie des Energie-Impuls-Tensors: Wenn wir für den Gesamtimpuls und den vierdimensionalen Drehimpulstensor gleichzeitig die Ausdrücke $$P^{\mu }:=\frac{1}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}{T}^{\mu 0}{d}^{3}x$$ $$M^{\mu \nu }=\frac{1}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}(x^{\mu }{T}^{\nu 0}-x^{\nu }{T}^{\mu 0})d^{3}x$$ verwenden wollen, so dass der Term $$\frac{1}{c}{T}^{\mu 0}{d}^{3}x$$ als $\mu$-te Impulskomponente des Volumenelementes $d^{3}x$ interpretiert werden kann, und wenn Gesamtimpuls und Drehimpulstensor zeitlich konstant sein sollen (also eine entsprechende Kontinuitätsgleichung erfüllen), so muss der Energie-Impuls-Tensor $T^{\mu \nu }$ symmetrisch sein.

Ein letztes Argument für die Symmetrie zumindest der räumlichen Komponenten von $T^{\mu \nu }$ ergibt sich, wenn man das Drehmoment, das auf ein Volumen wirkt, einmal über die im Volumen wirkende Kraftdichte und einmal über die Kraft auf die Oberfläche ausdrückt. Nur wenn die räumlichen Komponenten von $T^{\mu \nu }$ symmetrisch sind, stimmen die beiden Ausdrücke überein, so dass die Integranden auch die beabsichtigte Interpretation haben können.

Man kann sich überlegen, dass man oben in $$(T^{\prime }{)}^{\mu \nu }:=T^{\mu \nu }+\sum _{\sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}{\psi }^{\mu \nu \sigma }$$ den freien Zusatzterm ${\psi }^{\mu \nu \sigma }$ immer so wählen kann, dass der Energie-Impuls-Tensor symmetrisch wird, so dass wir den Vierervektor mit Komponenten $T^{\mu 0}$ wirklich als Vierer-Impulsdichte-Vektor der Verteilung interpretieren können. Auch die anderen Komponenten von $T^{\mu \nu }$ haben dann erst die oben beschriebene Interpretation.

Schauen wir uns an, wie man ein passendes ${\psi }^{\mu \nu \sigma }$ findet: Zunächst einmal kann man ein allgemeines (nicht unbedingt symmetrisches) $T^{\mu \nu }$ aufteilen in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil: $$T^{\mu \nu }=\frac{1}{2}(T^{\mu \nu }+T^{\nu \mu })+\frac{1}{2}(T^{\mu \nu }-T^{\nu \mu })$$ Wenn man nun den Term $$\sum _{\sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}{\psi }^{\mu \nu \sigma }$$ mit ${\psi }^{\mu \nu \sigma }=-{\psi }^{\mu \sigma \nu }$ zu $T^{\mu \nu }$ hinzuaddiert, so soll dieser den antisymmetrischen Anteil neutralisieren: $$\sum _{\sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}{\psi }^{\mu \nu \sigma }=-\frac{1}{2}(T^{\mu \nu }-T^{\nu \mu })$$ Eine Lösung dieser Gleichung ist $${\psi }^{\mu \nu \sigma }=\frac{1}{2}(x^{\mu }{T}^{\nu \sigma }-x^{\nu }{T}^{\mu \sigma })$$ denn wir hatten oben beim Drehimpulstensor bereits die Gleichung $$\sum _{\sigma }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\sigma }}(x^{\mu }{T}^{\nu \sigma }-x^{\nu }{T}^{\mu \sigma })=$$ $$=T^{\nu \mu }-T^{\mu \nu }$$ gezeigt.

Es ergibt sich eine sehr interessante Konsequenz, wenn wir die beiden räumlichen Vektoren mit Komponenten $T^{i0}$ bzw. $T^{0i}$ miteinander vergleichen (siehe oben):

• $\frac{1}{c}{T}^{i0}$ ist der räumliche Impulsdichte-Vektor (Impuls pro Volumeneinheit)
• $T^{0i}c$ ist der Energiestrom pro Flächeneinheit

Aus der Symmetrie von $T^{\mu \nu }$ folgt, dass ein Energiestrom immer mit einem Impuls verbunden ist! Der Energie-Stromflächendichte-Vektor ist gleich dem Impulsdichtevektor (mal $c^2$).

Energie verhält sich also in diesem Sinne genau wie Masse (die hier auch als Energie gerechnet wird). Man kann sich anhand von Beispielen leicht von der Richtigkeit dieser Aussage überzeugen. Schauen wir uns beispielsweise in einem gegebenem Inertialsystem einen Fluss von Teilchen der Masse $m$ an, die sich alle mit der Geschwindigkeit $\mathit{v}$ bewegen. Die Anzahldichte im Bezugssystem (Teilchenzahl pro Volumeneinheit) bezeichnen wir mit $n$, und Energie und Impuls eines Teilchens bezeichnen wir mit $E$ und $\mathit{p}$. Dann sind die Energie-Flächenstromdichte $\mathit{j}$ (Energiedurchfluss pro Zeiteinheit und Flächeneinheit) und die Impulsraumdichte ${\mathit{j}}^{\mathbf{\prime }}$ (Impuls pro Volumeneinheit) gegeben durch $$\mathit{j}=nE\mathit{v}$$ $${\mathit{j}}^{\mathbf{\prime }}=n\mathit{p}$$ Für Teilchen mit Masse $m$ ist $E=m{c}^2\gamma$ (dabei ist $\gamma$ der Lorentzfaktor) und deshalb $$\mathit{p}=m\gamma \mathit{v}=E\mathit{v}/c^2$$ Auch für masselose Teilchen gilt $\mathit{p}=E\mathit{v}/c^2$ mit $|\mathit{v}|=c$. Daher ist in beiden Fällen $E\mathit{v}=\mathit{p}{c}^2$ und somit $$\mathit{j}=nE\mathit{v}=n\mathit{p}{c}^2={\mathit{j}}^{\mathbf{\prime }}{c}^2$$ Einstein hat noch ein anderes schönes Argument für diesen Zusammenhang gegeben, das mit dem Schwerpunkt eines geschlossenen Wagens zu tun hat, in dem eine Energie von einer Wand zur anderen Wand strömt. Wer möchte, kann diesen Gedankengang beispielsweise nachlesen in Feynman Vorlesungen über Physik, Band II Elektromagnetismus und Struktur der Materie.

Für den Energie-Impuls-Tensor einer reibungsfreien Flüssigkeit bzw. eines reibungsfreien Gases hatten wir oben bereits den Ansatz gemacht, dass im lokalen Ruhesystem der Flüssigkeit $T^{\mu \nu }$ eine Diagonalmatrix ist mit $T_{00}=\rho c^2$ (wie bei Staub) und $T_{kk}=p$ (die Indexstellung ist hier egal). Die obige Diskussion hat gezeigt, dass wir $\rho$ als Massendichte bzw. $\rho c^2$ als Energiedichte der Flüssigkeit und $p$ als den Druck interpretieren können, denn $T^{ij}=:p{\delta }^{ij}$ ist diagonal mit identischen Diagonalelementen, so dass die Druckkraft immer senkrecht zur Fläche wirkt (es gibt also keine Viskosität (Zähigkeit) ). Die Kraft $\mathit{F}$ auf ein Flächenelement mit Flächenelement-Normalenvektor $\mathit{d}\mathit{A}$ ist dann gegeben durch $\mathit{F}=p\mathit{d}\mathit{A}$, so wie das bei einem Druck der Fall sein muss.

Rechnen wir wieder die Massen-Energie-Dichte aus, die ein Testteilchen sieht, welches sich mit Vierergeschwindigkeit $u=(\gamma c,\gamma \mathit{v})$ im lokalen Ruhesystem der Flüssigkeit oder des Gases bewegen: $$\rho (u)=\frac{1}{c^4}T(u,u)=$$ $$=\frac{1}{c^4}{T}_{00}{u}^0{u}^0+\frac{1}{c^4}\sum _k{T}_{kk}{u}^k{u}^k=$$ $$=\rho {\gamma }^2+\frac{1}{c^4}p{\gamma }^2{v}^2=$$ $$=\rho {\gamma }^2+\frac{1}{c^2}p({\gamma }^2-1)$$ denn beim Übergang zur letzten Zeile ist $${\gamma }^2(v/c{)}^2=$$ $$=\frac{(v/c{)}^2}{1-(v/c{)}^2}=$$ $$=\frac{1-(1-((v/c{)}^2)}{1-(v/c{)}^2}=$$ $$=\frac{1}{1-(v/c{)}^2}-1=$$ $$={\gamma }^2-1$$ Wir haben also $$\rho (u)=\frac{1}{c^4}T(u,u)=$$ $$=\rho {\gamma }^2+\frac{1}{c^2}p({\gamma }^2-1)$$ Das bewegte Testteilchen nimmt also nicht nur (wie bei Staub) eine um ${\gamma }^2$ verstärkte Energie-Massendichte $\rho$ wahr, sondern auch der Druck $p$ trägt zur wahrgenommenen Energiedichte bei.

Das kann man auch anschaulich verstehen: Zwar ruht die Flüssigkeit (das Gas) lokal in unserem Bezugssystem, d.h. die Komponenten $T^{i0}$ und damit die Gesamtimpulse $P^i$ sind Null. Dennoch aber bewegen sich natürlich die Moleküle statistisch und bauen so den Druck auf. Diese mikroskopischen Geschwindigkeiten verändern sich beim Bezugssystemwechsel und sorgen so für einen Energiedichte-Beitrag, der berücksichtigt werden muss.

Man kann über Lorentztransformationen nun den Energie-Impuls-Tensor in jedes andere Bezugssystem umrechnen, also z.B. den Energie-Impuls-Tensor einer sich gleichförmig bewegenden reibungsfreien Flüssigkeit (Gas) ausrechnen. Die Form des Energie-Impuls-Tensors im Ruhesystem der Flüssigkeit bestimmt zusammen mit dem Transformationsgesetz eindeutig den Energie-Impuls-Tensor in einem anderen Inertialsystem, denn man kann diesen ja über das Transformationsgesetz eindeutig ausrechnen. Wenn wir daher eine allgemeine Formel für den Energie-Impuls-Tensor angeben, die im lokalen Ruhesystem den korrekten Ruhe-Energie-Impuls-Tensor ergibt und die sich relativistisch richtig transformiert, so ist diese Formel eindeutig. Für den Energie-Impuls-Tensor einer reibungsfreien Flüssigkeit lautet diese allgemeine Formel:

Allgemeine Form des Energie-Impuls-Tensors einer reibungsfreien Flüssigkeit (Gas) in einem beliebigen lokalen Inertialsystem: $$T^{\mu \nu }=(\rho +\frac{1}{c^2}p)v^{\mu }{v}^{\nu }-p{g}^{\mu \nu }$$ mit dem Vierer-Geschwindigkeitsvektor $v=(v^{\mu })$ der Flüssigkeit (Gas). Im Ruhesystem der Flüssigkeit (des Gases) ist $v=(c,\mathbf{0})$ und wir haben $$T^{\mu \nu }=(\rho +\frac{1}{c^2}p)c^2{\delta }^{\mu 0}{\delta }^{\nu 0}-p{g}^{\mu \nu }$$ d.h. $T^{00}=\rho c^2$ und $T^{kk}=p$ wie gefordert. Wir können daher $v$ als die lokale Vierergeschwindigkeit der reibungsfreien Flüssigkeit (des Gases) interpretieren.

Es gibt natürlich neben druckfreiem Staub und reibungsfreien Flüssigkeiten (Gasen) noch weitere Materieformen, die i.a. auch andere Energie-Impuls-Tensoren aufweisen. Ein Beispiel sind Festkörper oder auch viskose Flüssigkeiten, die auch interene Kräfte parallel zu Schnittflächen aufweisen können (sogenannte Scherkräfte). Zumeist sind diese Scherkräfte allerdings deutlich kleiner als Druck- oder Zugkräfte, so dass man sie vernachlässigt.

Ein anderes Beispiel ist das elektromagnetische Feld, das ebenfalls einen Energie-Impuls-Tensor besitzt. Die konkrete Formel findet man in jedem Buch über Elektrodynamik oder auch im Internet (siehe z.B. Wikipedia: Energie-Impuls-Tensor). Wichtig ist, dass hier die Spur des Tensors Null ist: $${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}}_{g}T=\sum _{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }{T}^{\mu \nu }=0$$ Es ist interessant, dass innere Kräfte überhaupt einen Beitrag zur Energiedichte leisten, wenn man sie aus einem anderen Bezugssystem heraus betrachtet. Und dennoch müssen sie berücksichtigt werden, wenn man Energiedichten relativistisch korrekt beschreiben möchte. Ein schönes Beispiel dazu findet man in Feynman Vorlesungen über Physik, Band II Elektromagnetismus und Struktur der Materie, Kapitel 28 Elektromagnetische Masse. Dort wird eine kugelförmige statische negative Ladungsverteilung (also eine Ladungskugel) betrachtet, mit der man versuchsweise z.B. ein Elektron modellieren kann. Diese Ladungsverteilung erzeugt ein elektrisches Feld, das eine gewisse Energie aufweist. Beschleunigt man nun das Elektron und betrachtet Energie und Impuls, so stellt man fest, dass diese Größen sich nicht wie erwartet verhalten. Die Ursache dafür kennen wir nun: In einer kugelförmigen statischen negativen Ladungsverteilung stoßen sich die einzelnen Teile gegenseitig ab. Es muss daher Kräfte geben, die diese Abstoßung kompensieren und die Kugel zusammenhalten. Diese Kräfte muss man berücksichtigen, um das Verhalten für Energie und Impuls der Gesamtverteilung korrekt zu beschreiben.

In den meisten Fällen ist der Energie-Impuls-Tensor reibungsfreier Flüssigkeiten (also meist Gasen oder Plasma oder auch Staub, wenn man den Druck gleich Null setzt) für die Beschreibung von gravitationserzeugender Materie vollkommen ausreichend. Verschiedene Materieformen unterscheiden sich dabei durch eine jeweils charakteristische Zustandsgleichung der Materie, die im lokalen Ruhesystem den Druck $p$ und die Energiedichte $\rho$ miteinander verknüpft: $$p=f(\rho )$$ mit einer Materie- und Temperatur-abhängigen Funktion $f$. Hier sind einige charakteristische Zustandsgleichungen:

Zustandsgleichungen: Die meisten reibungsfreien Flüssigkeiten (z.B. Gas): $$p=k\rho$$ mit einer Materie- und Temperatur-abhängigen Konstante $k$. Staub (nichtrelativistische kollisionsfreie Materie, niedrige Temperatur): $$p=0$$ d.h. $k=0$. Strahlung (inkohärentes Photonengas oder hochrelativistisches Gas mit sehr hoher Temperatur): $$p=\frac{1}{3}\rho c^2$$ d.h. $k=\frac{1}{3}{c}^2$. Es folgt, dass die Spur wie beim Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes gleich Null ist (so muss es für elektromagnetische Strahlung ja auch sein): $${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}}_{g}T=\sum _{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }{T}^{\mu \nu }=0$$

Der Energie-Impuls-Tensor in der gekrümmten Raumzeit

Wir übertragen die obigen Energie-Impuls-Tensoren wie üblich in die gekrümmte Raumzeit, indem wir lokal in einem beliebigen Punkt $p$ Riemannsche Normalkoordinaten einführen (also lokal ein frei fallendes Bezugssystem wählen) und dann fordern, dass bei ruhender Materie in diesem Punkt der Energie-Impuls-Tensor die obige Ruhesystem-Form annimmt.

Da wir das an jedem Punkt so machen können, sind zunächst keine Probleme zu erwarten. Auch für beliebige Bezugssysteme können wir den Energie-Impuls-Tensor angeben, denn die Formel $$T^{\mu \nu }=(\rho +\frac{1}{c^2}p)v^{\mu }{v}^{\nu }-p{g}^{\mu \nu }$$ ist tensoriell und macht daher auch in beliebigen Bezugssystemen Sinn. Interessanter wird es dann, wenn wir die Kontinuitätsgleichung $$\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}{T}^{\mu \nu }=0$$ und die damit zusammenhängende Interpretation des Energie-Impuls-Tensors in die gekrümmte Raumzeit übertragen wollen.

Als Verallgemeinerung der Kontinuitätsgleichung bietet sich die folgende tensorielle Gleichung an: $$\sum _{\nu }{D}_{\nu }{T}^{\mu \nu }=0$$ mit den kovarianten Ableitungen $$D_{\nu }=D_{\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}}$$ Auf diese Weise ist gesichert, dass sich im Grenzfall verschwindender Gravitation in karthesischen Minkowskikoordinaten wieder die obige Kontinuitätsgleichung aus der speziellen Relativitätstheorie ergibt.

Man kann diese Kontinuitätsgleichung auch in die folgende Form bringen (siehe [MV] Kap. 4.6 ): $$\frac{1}{|detg|}\sum _{\nu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}(|detg|T^{\mu \nu })=$$ $$=-\sum _{\nu \sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\mu }{T}^{\nu \sigma }$$ mit der Determinante $detg$ der metrischen Matrix. Die genaue Interpretation der Kontinuitätsgleichung im Sinne der Energie-Impuls-Erhaltung ist offenbar nicht ganz unproblematisch, wie diese komplizierte Gleichung vermuten lässt. Darin spiegelt sich wider, dass Materie und Gravitationsfeld Energie und Impuls austauschen können. Allgemein ist es keineswegs trivial, für ein System mit Gravitation überhaupt den Gesamt-Energie und -Impuls sauber zu definieren. Es gibt hierzu verschiedene Ansätze, die jeweils ihre Vor- und Nachteile haben.

Das verallgemeinerte Gravitationsgesetz (die Einsteinschen Feldgleichungen)

Wenn wir uns das bisher Erreichte ansehen, so könnte man davon ausgehen, dass wir soweit bereits fertig sind: Wir haben oben als Ansatz für das verallgemeinertes Gravitationsgesetz die Gleichung $$R_{\mu \nu }=\frac{4\pi G_N}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$ gefunden, wir kennen den Ricci-Tensor auf der linken Seite und wir wissen, wie der Energie-Impuls-Tensor auf der rechten Seite aussieht und wie er (zumindest lokal bzw. im Grenzwert verschwindender Gravitation) interpretiert werden kann. Tatsächlich war auch Albert Einstein zu einem bestimmten Zeitpunkt dieser Meinung, bis sich herausstellte, dass er ein unscheinbares Detail übersehen hatte: Die Kontinuitätsgleichung!

Kehren wir noch einmal zurück zu unserer Gezeitenkräfte-Argumentation, die zu der obigen Gleichung geführt hatte: An einer Stelle hatten wir in Analogie zur nichtrelativistischen Gleichung $$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(K)=$$ $$=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )=4\pi G_N\rho$$ die relativistische Gleichung $$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(u,u)=4\pi G_N\rho (u)$$ aufgestellt, und für die Massen-Energiedichte $\rho (u)$, die die benachbarten Testteilchen sehen, den einfachen tensoriellen Ansatz $$\rho (u)c^4=T(u,u)$$ mit dem Energie-Impuls-Tensor $T(u,u)$ gemacht.

Das ist sicher zunächst die einfachste Möglichkeit. Im nichtrelativistischen Grenzfall ist die innere Teilchenbewegung der Materie klein und der Druck kann vernachlässigt werden, d.h. die Materie verhält sich wie Staub und wir haben $\rho (u)=\rho {\gamma }^2$ (siehe weiter oben). Für kleine Geschwindigkeiten der Testteilchen ist dann $\gamma$ ungefähr gleich 1 und es ergibt sich wie gewünscht $\rho (u)=\rho$.

Aber: der naheliegende Ansatz $\rho (u)c^4=T(u,u)$ ist nicht die einzige Möglichkeit, die den richtigen nichtrelativistischen Grenzwert ergibt. Hier ist ein anderer Kandidat: $$\rho (u)c^4=$$ $$=\xi T(u,u)+(1-\xi )Tg(u,u)$$ mit einer beliebigen reellen Zahl $\xi$ sowie $$T:={\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}}_{g}T=\sum _{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }{T}^{\mu \nu }$$ (analog zum Ricci-Skalar) und $$g(u,u)=c^2$$ Für verschwindenden Druck und kleine Geschwindigkeiten ist sowohl $T(u,u)=\rho c^4$ als auch $Tg(u,u)=\rho c^4$, so dass sich für beliebiges reelles $\xi$ der richtige Grenzwert $\rho (u)=\rho$ ergibt.

Aber welchen Wert für $\xi$ sollen wir nun wählen? Für $\xi =1$ würden wir unseren alten Ansatz zurückerhalten, aber diese Wahl scheint keineswegs zwingend zu sein. Der nichtrelativistische Grenzwert kann diese Frage nicht beantworten. Aber: die Kontinuitätsgleichung für den Energie-Impuls-Tensor kann es (da muss man natürlich erst einmal drauf kommen)!

Die Gleichung $$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(u,u)=4\pi G_N\rho (u)$$ bedeutet in Komponenten ausgeschrieben mit unserem erweiterten Ansatz für $\rho (u)$: $$R_{\mu \nu }=\frac{4\pi G_N}{c^4}(\xi T_{\mu \nu }+(1-\xi )T{g}_{\mu \nu })$$ In Raumbereichen ohne Materie und Energie (also $T_{\mu \nu }=0$ und deshalb auch $T=0$) ist demnach weiterhin $R_{\mu \nu }=0$, so wie wir das auch weiter oben geraten hatten. Das ist schon mal gut so.

Bilden wir von dieser Gleichung mit Hilfe der Metrik die Spur (also $\sum _{\mu \nu }{g}^{\mu \nu }...$ ), sodass wir links den Ricci-Skalar $R$ bekommen, so ergibt sich wegen $$\sum _{\mu \nu }{g}^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }=\sum _{\mu }{\delta }_{\mu }^{\mu }=4$$ die Gleichung $$R=\frac{4\pi G_N}{c^4}(\xi T+4(1-\xi )T)=$$ $$=\frac{4\pi G_N}{c^4}(4-3\xi )T$$ Wir wollen hier nicht im Detail $\xi$ ausrechnen, sondern einfach die Lösung angeben und diese dann rechtfertigen: der richtige Wert lautet $$\xi =2$$ Und hier kommt die Begründung: Mit $\xi =2$ ergibt die obige Gleichung $$R=\frac{4\pi G_N}{c^4}(4-3\xi )T=$$ $$=\frac{4\pi G_N}{c^4}(-2)T=$$ $$=-\frac{8\pi G_N}{c^4}T$$ und die Gleichung $$R_{\mu \nu }=\frac{4\pi G_N}{c^4}(\xi T_{\mu \nu }+(1-\xi )T{g}_{\mu \nu })$$ vereinfacht sich zu $$R_{\mu \nu }=\frac{8\pi G_N}{c^4}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu })$$ In diese Gleichung können wir $R=-\frac{8\pi G_N}{c^4}T$ einsetzen und erhalten $$R_{\mu \nu }=\frac{8\pi G_N}{c^4}{T}_{\mu \nu }+\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }$$ oder umgestellt $$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G_N}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$ Den Tensor auf der linken Seite bezeichnet man auch als Einstein-Tensor: $$G_{\mu \nu }:=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }$$ d.h. unser Ansatz für das verallgemeinerte Gravitationsgesetz lautet nun $$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G_N}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$ Die Begründung für $\xi =2$ (das haben wir ja bereits verwendet) ergibt sich nun, wenn wir die vierdimensionale Divergenz bilden. Es gilt nämlich bei verschwindender Torsion und einer Metrik, die mit der kovarianten Ableitung verträglich ist, die sogenannte kontrahierte Bianchi-Identität (siehe z.B. [MV2] Kap. 6,7 ; man kann diese Identität aus der zweiten Bianchi-Identität (siehe Krümmung ) durch geeignete Spurbildung mit Hilfe der Metrik nachrechnen – wir überspringen dies hier): $$\sum _{\nu }{D}_{\nu }{G}^{\mu \nu }=0$$ Aus dem verallgemeinerten Gravitationsgesetz folgt damit automatisch die Gleichung $$\sum _{\nu }{D}_{\nu }{T}^{\mu \nu }=0$$ wie es für den Energie-Impuls-Tensor sein muss. Dieses Ergebnis erhalten wir nur für $\xi =2$. Wir sehen, mit welchen trickreichen Detail Einstein zu kämpfen hatte!

Es zeigt sich, dass das obige Gravitationsgesetz keine weiteren versteckten Fallstricke enthält. Außerdem hat es seit seiner Formulierung durch Einstein im Jahr 1915 alle experimentellen Tests ohne Probleme überstanden und gilt daher als das allgemein akzeptierte Gesetz zur relativistischen Beschreibung der Gravitation. Fassen wir dies noch einmal zusammen:

Das relativistische Gravitationsgesetz (die Einsteinschen Feldgleichungen): Der Energie-Impuls-Tensor $T_{\mu \nu }$ der Materie und die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit sind über die sogenannten Einsteinschen Feldgleichungen miteinander verknüpft. Diese lauten: $$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G_N}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$ Dabei verwenden wir: Einstein-Tensor: $$G_{\mu \nu }:=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }$$ Ricci-Tensor: $$R_{\nu \sigma }:=\sum _{\mu }{R}_{\nu \mu \sigma }^{\mu }$$ Riemannscher Krümmungstensor: $$R_{\nu \mu \sigma }^{\mu }$$ Ricci-Skalar: $$R:=\sum _{\nu \sigma }{g}^{\nu \sigma }{R}_{\nu \sigma }$$ Eine dazu gleichwertige Form ist $$R_{\mu \nu }=\frac{8\pi G_N}{c^4}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu })$$ mit $$T:=\sum _{\nu \sigma }{g}^{\nu \sigma }{T}_{\nu \sigma }$$ denn es gilt $$R=-\frac{8\pi G_N}{c^4}T$$ In Raumbereichen ohne Materie und Energie (also $T_{\mu \nu }=0$) ist demnach $R_{\mu \nu }=0$, aber $R_{\nu \mu \sigma }^{\mu }$ muss nicht Null sein (z.B. Gravitation in der leeren Umgebung eines Sterns). Aufgrund der kontrahierten Bianchi-Identität $$\sum _{\nu }{D}_{\nu }{G}^{\mu \nu }=0$$ erfüllt der Energie-Impuls-Tensor automatisch die Kontinuitäts-Gleichung $$\sum _{\nu }{D}_{\nu }{T}^{\mu \nu }=0$$